Vojtech Jarnik 2012/3 Category II

#1

Έστω ένας δακτύλιος με μονάδα

ο οποίος έχει την ακόλουθη ιδιότητα:

Για κάθε $x\in R$ ισχύει ότι x^2=1

ή

για κάποιο $n \in \mathbb{N}$ .

Να δειχθεί ότι ο

είναι μεταθετικός.

dr.tasos · #2

Έστω $x , y \in R$
Αν x^2=1

και

$xy=x^{-1}y^{-1}$

Εδώ να πούμε ότι $yxx^{-1}y^{-1}=x^{-1}y^{-1}yx=1$
άρα $xy=(yx)^{-1}=yx$

Άν $x,y \in R$
Με x^2=1

και

Τότε το

αντιστρέφεται .
$\Rightarrow \exists z \in R \quad : z(y+1)=(y+1)z=1 \Rightarrow y=z^{-1}-1$
και $z=z^{-1}$

$xz=zx \Rightarrow xz^{-1}=z^{-1}x \Rightarrow xz^{-1}-x=z^{-1}x-x \Rightarrow x(z^{-1}-1)=(z^{-1}-1)x \Rightarrow xy=yx$

Τώρα αν
Άν $x,y \in R$
Με x^m=1

και

Ομοίως $\exists z , \quad k \quad : y=z^{-1}-1 , \quad \quad x=k^{-1}-1$
Με $z=z^{-1} \quad \wedge k=k^{-1}$

άρα
$z^{-1}k^{-1}-z^{-1}-k^{-1}+1=k^{-1}z^{-1}-k^{-1}-z^{-1}+1 \Rightarrow (z^{-1}-1)(k^{-1}-1)=(k^{-1}-1)(z^{-1}-1) \Rightarrow yx=xy$

και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί

Vojtech Jarnik 2012/3 Category II

Vojtech Jarnik 2012/3 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2012/3 Category II

Μέλη σε σύνδεση