Αριθμός μικρότερος του 1.

#1

Ο υπολογιστής σας σάς λέει ότι ο αριθμός

$\displaystyle{\frac{\sqrt{30}}{33}+\frac{\sqrt{56}}{45}+\frac{\sqrt{72}}{51}+\frac{\sqrt{90}}{57}+\frac{\sqrt{110}}{63}+\frac{\sqrt{132}}{69}}$

είναι, με ακρίβεια χιλιοστού, ίσος με $\displaystyle{0,998.}$

Εσείς αποδείξτε ότι είναι μικρότερος από $\displaystyle{1.}$

GMANS · #2

matha έγραψε:Ο υπολογιστής σας σάς λέει ότι ο αριθμός

$\displaystyle{\frac{\sqrt{30}}{33}+\frac{\sqrt{56}}{45}+\frac{\sqrt{72}}{51}+\frac{\sqrt{90}}{57}+\frac{\sqrt{110}}{63}+\frac{\sqrt{132}}{69}}$

είναι, με ακρίβεια χιλιοστού, ίσος με $\displaystyle{0,998.}$

Εσείς αποδείξτε ότι είναι μικρότερος από $\displaystyle{1.}$

$\displaystyle{\frac{\sqrt{30}}{33}+\frac{\sqrt{56}}{45}+\frac{\sqrt{72}}{51}+\frac{\sqrt{90}}{57}+\frac{\sqrt{110}}{63}+\frac{\sqrt{132}}{69}}=\frac{1}{6}(\displaystyle{\frac{\sqrt{120}}{11}+\frac{\sqrt{224}}{15}+\frac{\sqrt{288}}{17}+\frac{\sqrt{360}}{19}+\frac{\sqrt{440}}{21}+\frac{\sqrt{528}}{23}})= \frac{1}{6}(\displaystyle{\frac{\sqrt{11^2-1}}{\sqrt{11^2}}+\frac{\sqrt{15^2-1}}{\sqrt{15^2}}+\frac{\sqrt{17^2-1}}{\sqrt{17^2}}+\frac{\sqrt{19^2-1}}{\sqrt{19^2}}+\frac{\sqrt{21^2-1}}{\sqrt{21^2}}+\frac{\sqrt{23^2-1}}{\sqrt{23^2}}})<1$

#3

Με πρόλαβες στην στροφή:

Κάθε κλάσμα είναι $< \frac {1}{6}$ (βλέπε παρακάτω), οπότε και τα έξι μαζί έχουν άθροισμα

.

Για τον ισχυρισμό, έχουμε π.χ. να δείξουμε $\frac {\sqrt {30}} {33} < \frac {1}{6}$ ισοδύναμα $\frac {\sqrt {30}} {11} < \frac {1}{2}$ που είναι άμεσο με ύψωση στο τετράγωνο. Όμοια τα υπόλοιπα. Υπόψη σε όλα γίνεται απλοποίηση όπως στο προηγούμενο γιατί όλοι οι παρονομαστές είναι πολλαπλάσια του

#4

Ουσιαστικά είναι η ανισότητα

$\displaystyle{\frac{\sqrt{a(a+1)}}{3(2a+1)}<\frac{1}{6}}$

που προκύπτει από την $x+y\geq 2\sqrt{xy}...$

Αριθμός μικρότερος του 1.

Αριθμός μικρότερος του 1.

Re: Αριθμός μικρότερος του 1.

Re: Αριθμός μικρότερος του 1.

Re: Αριθμός μικρότερος του 1.

Μέλη σε σύνδεση