Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2016

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6603
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2016

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x^2) + xf(y) = f(x) f(x + f(y)) , για κάθε x,y\in\mathbb{R}.
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Κοτσόβολης Γιώργος
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 14, 2015 12:29 pm

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2016

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτσόβολης Γιώργος »

Καλησπέρα και καλές γιορτές :)
f(x^{2}) + xf(y) = f(x)f(x + f(y))
Για x=0 έχουμε
f(0)=f(0)f(f(y))
'Αρα f(0)=0 ή f(f(y))=1
Έστω πως ισχύει f(f(x))=1 :
Στην αρχική για x=1 :
f(1) + f(y)=f(1)f(1 + f(y)) (1)
Αν f(1)=0 τότε f(x)=0 για όλα τα x,το οποίο είναι άτοπον αφού f(f(x))=1
Άρα f(1) διάφορο του μηδενός και για y=1 στην (1) έχωf(1) + f(1)=f(1)f(1 + f(1)).Άρα f(1+f(1))=2,από όπου f(2)=1 και άρα f(1)=1.
Τότε όμωςf(1+f(1))=f(2)=1 άτοπον.
Άρα f(0)=0 !!!
Για y=0 στην αρχική έχω f(x)^{2}=f(x^{2}) (2)
f(x)=0 φανερή λύση.Αν τώρα f(r)\neq 0 στην αρχική για f(x)=0 και y=r χρησιμοποιώντας την (2) έχωx=0.
Άρα f(x)=0 \Leftrightarrow x=0.
Γιαx>0 έχω f(x)>0 από την (2).
Για y=x\neq 0 έχω f(x)+x=f(f(x)+x) (3)
Στην αρχική για x=-y\neq 0 και χρησιμοποιώντας την (2) παίρνω f(y)(f(y)-y)=f(-y)f(f(y)-y)) (4).
Στην αρχική για x=y=1 παίρνω 2f(1)=f(1)f(1+f(1)). Άρα f(1+f(1))=2 και f(1) + 1=2 από την (3).Άρα f(1)=1.
Στην αρχική για y=1 και x=-1 παίρνω f(-1)=-1.
Για x=1 f(y)+1=f(f(y)+1) (5)
Για x=-1 έχω 1-f(y)=-f( f(y)-1).Αν βάλω τώρα όπου y το f(y)+1 έχω από την (5):
f((y))=f(y) (6)
Έστω πως υπάρχει κάποιο z\neq 0 ώστε f(z)=f(-z) τότε από την (4) έχω f(z)-z=f(f(z)-z)
στην αρχική τώρα για x=z και y=f(z)-z παίρνω από την (6) f(z)=z και από την (3) παίρνω f(2z)=2z.
Στην αρχική για x=-z και y=2z παίρνω z=0 άτοπον.Άρα από την (2) έχω ότι η f είναι περιττή και συνεπώς f(x)x>0.
Τέλος από την (4) αν f(x)>x παίρνω άτοπον.Ομοίως για f(x)<x.
Τελικά f(x)=x ή f(x)=0.
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6603
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2016

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Δείτε και:
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1233197
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες