ΣΥΣΤΗΜΑ

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

ΣΥΣΤΗΜΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Τρί Μάιος 03, 2016 11:35 am

Να βρεθούν οι μη μηδενικές λύσεις του συστήματος
x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z
x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4278
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Μάιος 04, 2016 12:26 am

polysindos έγραψε:Να βρεθούν οι μη μηδενικές λύσεις του συστήματος
x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z
x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz
Κατ΄αρχάς αναμένεται να έχουμε άπειρες τριάδες λύσεων. Κρατώντας το z σταθερό έχουμε ένα σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους δυλαδή δύο καμπύλες του επιπέδου. Τα σημεία τομής τους εφ΄όσον υπάρχουν μαζί με την τιμή του z μας δίνουν και μία τριάδα λύσεων. Η Geοgebra μπορεί να μας δώσει μία εικόνα. Το z αλλαζει δίνει δύο καμπύλες (με συνεχή γραμμή εκείνη που προκύπτει από την π΄ρωτη εξίσωση και με το ίδιο χρώμα αλλά διακεκομμένη εκείνη από την δεύτερη εξίσωση.
system.png
system.png (889.47 KiB) Προβλήθηκε 1463 φορές
Μπορούμε να ξεπεράσουμε τις δυσκολίες επίλυσης του συστήματος ως εξής:
Ας ονομάσουμε S_1, S_2, S_3 τις στοιχειώδεις συμμετρικές παραστάσεις x+y+z, xy+yz+zx, xyz των x, y, z.
Το σύστημα ισοδυναμεί με το
S_{1}\left( S_{1}^{2}-3S_{2}\right) +3S_{3}=S_{1}
S_{1}^{2}-2S_{2}=S_{3}
Θέτοντας
S_{1}=m,
και αντικαθιστώντας το S_3 από την δεύτερη στην πρώτη βρίσκουμε
m^{3}-3mS_{2}+3m^{2}-6S_{2}-m=0
Βλέπουμε ότι αποκλείεται να είνα m=-2 διότι η τελευταία ισότητα θα ήταν αδύνατη.
Λύνοντας ως προς S_2 έχουμε
S_{2}=\frac{m\left( m^{2}+3m-1\right) }{3\left( m+2\right) }
οπότε
S_{3}=S_{1}^{2}-2S_{2}=\allowbreak \frac{m\left( m^{2}+2\right) }{3\left( m+2\right) }
Θα έχουμε βρει τα x,y,z αν και μόνο αν βρούμε τις συμμετρικές τους παραστάσεις. Από τις σχέσεις του Vieta τα x,y,z είναι ρίζες του πολυωνύμου:
t^{3}-S_{1}t^{2}+S_{2}t-S_{3}
που βρίσκουμε μετά από πράξεις ότι είναι ρίζες του:
\left( 3m+6\right) t^{3}+\left( -6m-3m^{2}\right) t^{2}+\left( 3m^{2}-m+m^{3}\right) \allowbreak t-2m-m^{3}.
Οι ρίζες του μπορούν να βρεθούν με τον τύπο του Cardano. Φυσικά εξαρτώνται από την τιμή του m. Mε άλλα λόγια, κάθε φορά, βρίσκουμε την τομή τριών επιφανειών των δύο που ορίζουν οι εξισώσεις του συστήματος και του επιπέδου x+y+z=m.
Αδυνατώ να σκεφτώ κάποιο σχολικό τρόπο και θα χαρώ αν δω ένα.

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Τετ Μάιος 04, 2016 12:01 pm

Από την διακρίνουσα βρίσκουμε ότι -2,1682070754563339963\leq x+y+z<-2
και κάποιες λύσεις δίνονται στο παρακάτω αρχείο.
Συνημμένα
system.xlsx
(54.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 75 φορές


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Μάιος 04, 2016 1:12 pm

polysindos έγραψε:Από την διακρίνουσα βρίσκουμε ότι -2,1682070754563339963\leq x+y+z<-2
και κάποιες λύσεις δίνονται στο παρακάτω αρχείο.
Δηλαδή τώρα θεωρείς ότι λύθηκε το σύστημα;

Τολμώ να χαρακτηρίσω το θέμα ως φάρσα!


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4278
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Μάιος 04, 2016 3:49 pm

Δοκίμασα το σύστημα και σε λογισμικό (Maple).
α) Με βάσεις Groebner σε καλύτερη βάση του ιδεώδους των δύο πολυωνύμων. Δεν έδωσε κάτι διαχειρίσιμο.
β) Με απευθείας εντολή επίλυσης του συστήματος. Έδωσε μία δίοδο στην κόλαση
Η ενασχόληση με τις δύο αυτές επιφάνειες με έκανε να τις συμπαθήσω. Ιδού οι φωτογραφίες τους:
Η επιφάνεια της πρωτης εξίσωσης:
curve001.png
curve001.png (175.01 KiB) Προβλήθηκε 1307 φορές
Η επιφάνεια της δεύτερης εξίσωσης:
curve002.png
curve002.png (64.93 KiB) Προβλήθηκε 1307 φορές
Και οι δύο μαζί:
curve003.png
curve003.png (157.76 KiB) Προβλήθηκε 1307 φορές
polysindos έγραψε:Από την διακρίνουσα βρίσκουμε ότι -2,1682070754563339963\leq x+y+z<-2
και κάποιες λύσεις δίνονται στο παρακάτω αρχείο.
Δηλαδή;


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Τετ Μάιος 04, 2016 5:09 pm

\Delta=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4a^{3}-27a^{2}d^{2}\geq 0
-3m^{10}+12m^{9}+54m^{8}-423m^{6}-1980m^{5}-4164m^{4}-5160m^{3}-3888m^{2}\geq 0
-3 m^{2}(m+2.1682070754563339963) (m+2.0)  (m^{2}-10.441290409489341529m+27.413997226396056459) (m^{2}+0.88456968334331901597m+4.216557144113555452) (m^{2}+1.3885136506896885168m+2.585496139587746164)\geq 0
-2.1682070754563339963\leq m<-2


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4278
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Μάιος 04, 2016 7:05 pm

polysindos έγραψε:\Delta=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4a^{3}-27a^{2}d^{2}\geq 0
-3m^{10}+12m^{9}+54m^{8}-423m^{6}-1980m^{5}-4164m^{4}-5160m^{3}-3888m^{2}\geq 0
-3 m^{2}(m+2.1682070754563339963) (m+2.0)  (m^{2}-10.441290409489341529m+27.413997226396056459) (m^{2}+0.88456968334331901597m+4.216557144113555452) (m^{2}+1.3885136506896885168m+2.585496139587746164)\geq 0
-2.1682070754563339963\leq m<-2
Αγαπητέ φίλε
Μπορείς να μας γράψεις την λύση που είχες κατα νου όταν ανέβαζες την άσκηση;
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Τετ Μάιος 04, 2016 7:29 pm

Την λύση με τα S1,S2και S3.
Και πότε έχουμε πραγματικές λύσεις.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4594
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Μάιος 04, 2016 8:23 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Η εκφώνηση μού θύμισε ένα άρθρο του Λεωνίδα Ιωσηφίδη στον Απολλώνιο, τ. 2 σελ. 94

Αντιγράφω από εκεί:

Κάθε πολυώνυμο με τρεις μεταβλητές, έστω x, y, z, καλείται συμμετρικό αν δεν μεταβάλλεται με οποιαδήποτε εναλλαγή των μεταβλητών του.

Π.χ. το ƒ(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 είναι συμμετρικό, διότι:

ƒ(x, z, y) = ƒ(y, x, z) = ƒ(y, z, x) = ƒ(z, y, x) = ƒ(z, x, y) = x^2 + y^2 + z^2 = ƒ(x, y, z)

Κάθε τέτοιο πολυώνυμο μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση των:

S = x + y + z, 	Q = xy + yz + zx    ,   Ρ = xyz

οπότε

x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 – 2(xy + yz + zx) = S^2 – 2Q

x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = (xy + yz + zx)^2 – 2xyz(x + y + z) = Q^2 – 2PS

x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2)

-(x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y) =S^3 – 3QS + 3P

Κι εφαρμόζω στην άσκηση:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{x^3} + {y^3} + {z^3} = x + y + z\\ 
{x^2} + {y^2} + {z^2} = xyz 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
{S^3} - 3QS + 3P = S\\ 
{S^2} - 2Q = P 
\end{array} \right.

Οπότε, σχηματίζεται η εξίσωση \displaystyle {S^3} + 3{S^2} - \left( {3Q + 1} \right)S - 6Q = 0

Δεν βλέπω δρόμο ανοιχτό παρακάτω...


Πιθανολογώ ότι κάτι άλλο θα έπρεπε να ζητά η εκφώνηση, ώστε να βγουν πιο "συμμετρικά" τα εμπλεκόμενα πολυώνυμα....

edit: Για ένα διάστημα ακολούθησα τα βήματα του Νίκου (ακολουθώντας τους συμβολισμούς του Λεωνίδα Ιωσηφίδη)
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Μάιος 04, 2016 8:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Τετ Μάιος 04, 2016 8:32 pm

Τον δρόμο τον δείχνει το παρακάτω πολυώνυμο του κυρίου nsmavrogiannis
\left( 3m+6\right) t^{3}+\left( -6m-3m^{2}\right) t^{2}+\left( 3m^{2}-m+m^{3}\right) \allowbreak t-2m-m^{3}


Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Τετ Μάιος 04, 2016 9:00 pm

polysindos έγραψε:Από την διακρίνουσα βρίσκουμε ότι -2,1682070754563339963\leq x+y+z<-2
και κάποιες λύσεις δίνονται στο παρακάτω αρχείο.
Έχω προσθέσει και την διπλή ρίζα όταν η διακρίνουσα γίνεται μηδέν.
Συνημμένα
system.xlsx
(54.78 KiB) Μεταφορτώθηκε 44 φορές


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4278
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Πέμ Μάιος 05, 2016 9:04 pm

polysindos έγραψε:Τον δρόμο τον δείχνει το παρακάτω πολυώνυμο του κυρίου nsmavrogiannis
\left( 3m+6\right) t^{3}+\left( -6m-3m^{2}\right) t^{2}+\left( 3m^{2}-m+m^{3}\right) \allowbreak t-2m-m^{3}
Ναι αλλά οι λύσεις είναι (από το maple) κάπως έτσι:
\displaystyle t=\frac{1}{6\left( m+2\right) }\root{3}\of{\left( -4m\left( -4m^{2}-3m+m^{3}-18-\sqrt{\left( \frac{12m^{4}+117m^{3}+426m^{2}+536m-6m^{5}-6m^{6}+m^{7}+648}{m+2}\right) }\right) \left( m+2\right) ^{2}\right) }-\frac{2}{3}m\frac{m-1}{\root{3}\of{\left( -4m\left( -4m^{2}-3m+m^{3}-18-\sqrt{\left( \frac{12m^{4}+117m^{3}+426m^{2}+536m-6m^{5}-6m^{6}+m^{7}+648}{m+2}\right) }\right) \left( m+2\right) ^{2}\right) }}+\frac{1}{3}m


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Παρ Μάιος 06, 2016 8:23 am

Οι τρεις πραγματικές ρίζες κατά την άποψή μου υπολογίζονται με την βοήθεια της τριγωνομετρίας εξού και προσεγγιστικά.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Μάιος 06, 2016 12:11 pm

polysindos έγραψε:Οι τρεις πραγματικές ρίζες κατά την άποψή μου υπολογίζονται με την βοήθεια της τριγωνομετρίας εξού και προσεγγιστικά.
Μπορούμε να το δούμε αυτό;


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Παρ Μάιος 06, 2016 2:12 pm

Με αντικατάσταση t=w+\frac{m}{3}
οδηγούμαστε στην εξίσωση
w^{3}+\frac{m^2-m}{3(m+2}w+\frac{m^{4}-4m^{3}-3m^{2}-18m}{27(m+2}
θέτοντας w=a+b
τα a^{3} και b^{3} είναι λύσεις της εξίσωσης
u^{2}+\frac{m^{4}-4m^{3}-3m^{2}-18m}{27(m+2}u-\frac{(m^2-m)^3}{27(m+2)^{3}}
επειδή οι ρίζες για τις τιμές που διαλέξαμε (εκτός της πρώτης) είναι μιγαδικές για να βρουμε κυβική ρίζα μιγαδικού χρειαζόμαστε μέτρο και όρισμα.
τα υπόλοιπα στο αρχείο excel


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Μάιος 06, 2016 4:57 pm

polysindos έγραψε: ...
τα υπόλοιπα στο αρχείο excel
Νομίζω όλοι συμφωνούμε ότι το σύστημα δεν έχει λυθεί. Αν είναι να επιτρέψουμε excel (!) και τέτοια, ας το ρίξουμε στο maple, όπως λέει ο Νίκος και να τελειώνουμε μια ώρα αρχύτερα.

Πάντως εντόπισα το σύστημα στο mathproblems ως προτεινόμενο (σελίδα 19 του αρχείου), με τη διαφορά ότι μιλάει για θετικούς \displaystyle{x,y,z.}

Με αυτό τον όρο το πράμα αλλάζει άρδην. Αρκεί μια απλή εφαρμογή της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ για να δούμε ότι είναι αδύνατο.
Συνημμένα
system.png
system.png (10.29 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Παρ Μάιος 06, 2016 5:41 pm

Μνημονεύετε Jeronimo Cardano και μνημονεύετε Abraham De Moivre.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες