Μια βασική στο εξωτερικό γινόμενο.

#1

Τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow \alpha ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ ικανοποιούν τη σχέση:

$\displaystyle{\overrightarrow \alpha \times \overrightarrow b = \overrightarrow b \times \overrightarrow c = \overrightarrow c \times \overrightarrow \alpha \ne \overrightarrow 0 }$

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\overrightarrow \alpha + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0 }$

Tolaso J Kos · #2

chris_gatos έγραψε:Τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow \alpha ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ ικανοποιούν τη σχέση:

$\displaystyle{\overrightarrow \alpha \times \overrightarrow b = \overrightarrow b \times \overrightarrow c = \overrightarrow c \times \overrightarrow \alpha \ne \overrightarrow 0 }$

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\overrightarrow \alpha + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0 }$

Κάτι μου θυμίζει έντονα αυτό το θέμα . Θα χρησιμοποιήσω το συμβολισμό $\mathbf{x}$ για τα διανύσματα. Τότε έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathbf{a \times b} = \mathbf{b \times c}= -\mathbf{c \times b} &\Leftrightarrow \mathbf{a\times b} + \mathbf{c \times b}=0 \\ &\Leftrightarrow \left ( \mathbf{a} + \mathbf{c} \right ) \times \mathbf{b}=0 \end{aligned}}$

Από τη τελευταία σχέση συνάγουμε ότι τα διανύσματα $\mathbf{a}+\mathbf{c}$ και $\mathbf{b}$ είναι παράλληλα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα $\ell$ τέτοιο ώστε $\mathbf{b}=\ell (\mathbf{a}+\mathbf{c}) \quad (*)$ .

Επίσης έχουμε ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathbf{b \times c}= \mathbf{c \times a}=-\mathbf{a \times c} &\Leftrightarrow \mathbf{b \times c} + \mathbf{a \times c} =0 \\ &\Leftrightarrow \mathbf{\left ( b+a \right )} \times \mathbf{c} =0 \\ &\overset{(*)}{\Leftrightarrow }\left [ \ell \left ( \mathbf{a+c} \right )+\mathbf{a} \right ]\times \mathbf{c}=0 \\ &\Leftrightarrow \left [ \left ( 1+\ell \right )\mathbf{a} + \ell \mathbf{c} \right ] \times \mathbf{c} =0 \\ &\Leftrightarrow \left ( 1+\ell \right ) \left ( \mathbf{a \times c} \right )+\cancelto{0}{ \ell \mathbf{c \times c}} =0 \\ &\Leftrightarrow \left ( 1+\ell \right ) \left ( \mathbf{a\times c} \right ) =0 \end{aligned}}$

Από τη τελευταία σχέση συνάγουμε ότι $\ell=-1$ αφού $\mathbf{a \times c} \neq 0$ . Με αντικατάσταση πάνω στην (*)

βγάζουμε ότι $\mathbf{a+b+c}=\mathbf{0}$ , δηλ. αυτό που θέλαμε.

Edit: Άλλαξα το $\lambda_1$ σε $\ell$ .

#3

chris_gatos έγραψε:Τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow \alpha ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ ικανοποιούν τη σχέση:

$\displaystyle{\overrightarrow \alpha \times \overrightarrow b = \overrightarrow b \times \overrightarrow c = \overrightarrow c \times \overrightarrow \alpha \ne \overrightarrow 0 }$

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\overrightarrow \alpha + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0 }$

Αλλιώς.

Έστω $\displaystyle{\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \ne \overrightarrow 0 }$ . Είναι

$\displaystyle{(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c) \times \overrightarrow a = \overrightarrow 0 + \overrightarrow b \times \overrightarrow a + \overrightarrow c \times \overrightarrow a= - \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow c \times \overrightarrow a =\overrightarrow 0 }$

Άρα $\overrightarrow a$ παράλληλο προς το (μη μηδενικό) διάνυσμα $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c$ . Όμοια $\overrightarrow b$ παράλληλο προς το ίδιο μη μηδενικό διάνυσμα, που σημαίνει ότι τα $\overrightarrow a, \, \overrightarrow b$ παράλληλα μεταξύ τους. Αλλά τότε $\overrightarrow a \times \overrightarrow b=0$ , αντίθετα από την υπόθεση. Τελικά $\displaystyle{\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0 }$

Μια βασική στο εξωτερικό γινόμενο.

Μια βασική στο εξωτερικό γινόμενο.

Re: Μια βασική στο εξωτερικό γινόμενο.

Re: Μια βασική στο εξωτερικό γινόμενο.

Μέλη σε σύνδεση