Κερνάω ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω οι θετικοί a,b,c

,τέτοιοι ώστε a+b+c=1

. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle \frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ac}{b+1}$

Θέματα για γυμνάσιο - Juniors

Άλγεβρα-Θεωρία αριθμών - Συνδιαστική

Μέχρι 12-5-2016

Nick Math · #2

Πιστεύω είναι $\frac{1}{4}$

Ορέστης Λιγνός · #3

Σωστά, αλλά χρειάζεται εξήγηση.

Nick Math · #4

orestis26 έγραψε:Σωστά, αλλά χρειάζεται εξήγηση.

Θα προσπαθήσω να εξηγήσω όσο καλύτερα μπορώ.
Από τα δεδομένα της εκφώνησης έπεται ότι a,b,c

είναι ρητοί κλασματικοί. Παρατηρούμε πως για να πετύχουμε την μέγιστη τιμή θα πρέπει οι αριθμητές των κλάσματων να παίρνουν την μεγαλύτερη δυνατή τιμή. Συνεπώς θα πρέπει οι a,b,c

είτε να έχουν όσο το δυνατό μεγαλύτερο αριθμητή είτε όσο το δυνατό μικρότερο παρανομαστή. Έστω ότι ισχύει το πρώτο. Βλέπουμε πως οι παρανομαστές των αριθμών αυτών είναι πολύ μεγάλοι συγκριτικά με τον αριθμητή( όπως
στην περίπτωση που $a=\frac{10}{20}, b= \frac{9}{20}, c=\frac{1}{20}$ $ab=\frac{90}{400}, bc=\frac{9}{400}, ac=\frac{10}{400})$ Συνεπώς πρέπει να ισχύει το δεύτερο. Βλέπουμε τώρα εύκολα ότι ο μικρότερος παρανομαστής είναι το

, με $a,b,c=\frac{1}{3}$ , αντικαθιστώντας παίρνουμε $\frac{1}{4}$

Ορέστης Λιγνός · #5

Δεν νομίζω ότι είναι σωστό. Πώς προκύπτει ότι οι a,b,c

είναι ρητοί ;

Η λύση προκύπτει με χρήση βασικών ανισοτήτων.

Ξαναπροσπάθησε

.

Ορέστης Λιγνός · #6

Για να βοηθήσω

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #7

Άλλη μία βοήθεια :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #8

Λοιπόν ; Κανείς δεν έχει λύση ;

Nick Math · #9

Μια τελευταία προσπάθεια με διαφορετικό τρόπο από τις υποδείξεις (δεν γνωρίζω cauchy schwarz). Από ΑΜ-ΓΜ:
$\frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ac}{1+b}≥3\sqrt[3]{{\frac{(abc)^{2}}{abc+ab+ac+bc+a+b+c+1}}}$ (1)

. Από ΑΜ-ΓΜ λαμβάνουμε πάλι: $\frac{1}{27}≥abc$ , $ab+ac+bc≥\frac{1}{3}$ . Οπότε η (1)

γίνεται $\frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ac}{1+b}≤3\sqrt[3]{{\frac{\frac{1}{27^{2}}}{\frac{1}{27}+\frac{1}{3} +1 +1}}}$ ⇔ $\frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ac}{1+b}≤\frac{1}{4}$ . Συνεπώς η μέγιστη τιμή είναι $\frac{1}{4}$ .

Ορέστης Λιγνός · #10

Δυστυχώς, έχεις και πάλι λάθος.

Τι εννοείς δεν γνωρίζω Cauchy Schwarz ; Η δεύτερη υπόδειξη που έδωσα, χρησιμοποιεί μόνο AM-GM.

Προφανώς εννοείς $ab+bc+ca\leq \frac{1}{3}$

Για ξαναδές τα $\leq , \geq$ που έχεις βάλει.

Χρησιμοποίησε τις υποδείξεις μου...

Nick Math · #11

Δεν αλλάζει η φορά της ανίσωσης, επειδή έκανα αντικατάσταση?

Ορέστης Λιγνός · #12

Όχι .

harrisp · #13

orestis26 έγραψε:Έστω οι θετικοί ,τέτοιοι ώστε . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle \frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ac}{b+1}$

Θέματα για γυμνάσιο - Juniors

Άλγεβρα-Θεωρία αριθμών - Συνδιαστική

Μέχρι 12-5-2016

Γράφω πολύ σύντομα την λύση μου:

Έχουμε:

$\frac{1}{(a+c)+(b+c)}\leq\frac{1}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$

Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη με ab:

$\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq\frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$

Μεταφέρω το 4 στο άλλο μέλος:

$\frac{4ab}{(c+1)}\leq(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$

Ομοίως και τα υπόλοιπα. Προσθέτοντας τα και κάνοντας απλοποιήσεις και επιμεριστικές καταλήγουμε:

$4(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1})\leq a+b+c$

Μεταφέροντας το 4 στο άλλο μέλος και αντικαθιστώντας το α+β+γ με 1 βρίσκουμε πως η μέγιστη τιμή της παράστασης είναι ένα τέταρτο.

Ορέστης Λιγνός · #14

Αφού συγχαρώ τον Χάρη για την λύση του , ας προχωρήσουμε την άσκηση!

Αν ακόμη $ab+bc+ca=\frac{1}{4}$ ( ισχύει ότι a+b+c=1

), να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ac}{b+1}\geq \frac{12abc}{12abc+1}$ .

Ορέστης Λιγνός · #15

Επαναφορά !

sot arm · #16

Μια λύση για το τελευταίο.
Έχω:
$\displaystyle \sum{\frac{ab}{c+1}}=\sum{\frac{(ab)^{2}}{abc+ab}}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc+\frac{1}{4}}= \frac{4(ab+bc+ca)^{2}}{12abc+1}$
Λόγω της Cauchy-Schwarz , τώρα αρκεί να δειχθεί ότι:
$\displaystyle 4(ab+bc+ca)^{2}\geq 12abc \Leftrightarrow \sum{(ab)^{2}}+\sum{2abbc} \geq 3abc \Leftrightarrow \sum{\frac{ab}{c}}+2(a+b+c)\geq 3$
Τώρα θα δείξω ότι:
$\displaystyle \sum{\frac{ab}{c}} \geq a+b+c$
Παίρνω ΑΜ-ΓΜ ανά δύο όρους του αριστερού μέλους προσθέτω κατά μέλη και έχω: (δείχνεται και με ανισότητα αναδιάταξης)
$\displaystyle 2(\sum{\frac{ab}{c}}) \geq 2(a+b+c) \Leftrightarrow \sum{\frac{ab}{c}}\geq a+b+c$
Τότε για την προηγούμενη παράσταση έχω:
$\displaystyle \sum{\frac{ab}{c}}+2(a+b+c)\geq 3(a+b+c)=3$ και το ζητούμενο έχει δειχθεί.

Βαγγέλης Κομπότης · #17

Πολύ όμορφη άσκηση και λύση Ορέστη.

Έχω μια μικρή παρατήρηση που οδηγεί σε μια διαφορετική λύση.

Ξεκινάμε με την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου:

$\displaystyle{A+B+C\leq \dfrac{9}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}}}$

και αντικαθιστούμε τους A,B,C

με τους τρεις προσθετέους. Μετά από απλοποίηση, βρίσκουμε ότι η δεδομένη παράσταση ειναι μικρότερη ίση από:

$\displaystyle{\dfrac{9abc}{a+b+c+a^2+b^2+c^2}=\frac{9abc}{1+a^2+b^2+c^2}}$

Εδώ είμαστε αρκετά τυχεροί γιατί στον μεν αριθμητή η ποσότητα abc

έχει μέγιστη τιμή 1/9 ενώ στον παρονομαστη η ποσότητα
a^2+b^2+c^2

έχει ελάχιστη τιμή 1/3. και αυτό συμβαίνει και για τις δυο ποσότητες όταν a=b=c=1/3

.Αυτό δίνει άμεσα ότι η μέγιστη τιμή είναι 1/4.

Επιπλέον βλέπουμε ότι αυτό μπορεί να γενικευτεί εύκολα για

μεταβλητές και να δώσει ότι το μέγιστο είναι $\dfrac{1}{n+1}$ .

Βαγγέλης

sot arm · #18

Βαγγέλης Κομπότης έγραψε:Πολύ όμορφη άσκηση και λύση Ορέστη.

Έχω μια μικρή παρατήρηση που οδηγεί σε μια διαφορετική λύση.

Ξεκινάμε με την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου:

$\displaystyle{A+B+C\leq \dfrac{9}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}}}$

και αντικαθιστούμε τους με τους τρεις προσθετέους. Μετά από απλοποίηση, βρίσκουμε ότι η δεδομένη παράσταση ειναι μικρότερη ίση από:

$\displaystyle{\dfrac{9abc}{a+b+c+a^2+b^2+c^2}=\frac{9abc}{1+a^2+b^2+c^2}}$

Εδώ είμαστε αρκετά τυχεροί γιατί στον μεν αριθμητή η ποσότητα έχει μέγιστη τιμή 1/9 ενώ στον παρονομαστη η ποσότητα
έχει ελάχιστη τιμή 1/3. και αυτό συμβαίνει και για τις δυο ποσότητες όταν .Αυτό δίνει άμεσα ότι η μέγιστη τιμή είναι 1/4.

Επιπλέον βλέπουμε ότι αυτό μπορεί να γενικευτεί εύκολα για μεταβλητές και να δώσει ότι το μέγιστο είναι $\dfrac{1}{n+1}$ .

Βαγγέλης

Υπάρχουν αρκετά λάθη στα παραπάνω, αρχικά η ανισότητα αριθμητικού αρμονικού μέσου για τρεις μεταβλητές είναι η εξής:
$\displaystyle{A+B+C \geq \frac{9}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}}}$
με διαφορετική φορά από την αναγραφόμενη.
Επιπλέον, από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:
$\displaystyle{abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^{3}=\frac{1}{27}}$
και όχι αυτό που έχει δηλωθεί παραπάνω χωρίς εξήγηση.

Βαγγέλης Κομπότης · #19

Όντως Σωτήρη, πολλά λάθη... Η αντίστροφη φορά της ανισότητας που χρησιμοποίησα δε μπαλώνεται με τίποτε - απίστευτη πατάτα!

Κερνάω ανισότητα!

Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Re: Κερνάω ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση