Ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν $a,b,c\geq0$ με a+b+c=1

, να δειχτεί ότι $7(ab+bc+ca)\leq 2+9abc$ .

Η άσκηση δεν είναι δύσκολη , αν βρεις το κουμπί της , όλα προχωρούν μετά... Το κουμπί που εννοώ είναι η ομογενοποίηση .

G.Bas · #2

orestis26 έγραψε:Αν $a,b,c\geq0$ με , να δειχτεί ότι $7(ab+bc+ca)\leq 2+9abc$ .

Η άσκηση δεν είναι δύσκολη , αν βρεις το κουμπί της , όλα προχωρούν μετά... Το κουμπί που εννοώ είναι η ομογενοποίηση .

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Schur

$\displaystyle{\begin{aligned} 2+9abc=1+(a+b+c)^3+9abc&\geq 1+4(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2+4(ab+bc+ca)\\&\geq 3(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)=7(ab+bc+ca).\end{aligned}}$

Ορέστης Λιγνός · #3

Μπορούμε και με άλλο τρόπο!

#4

Αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ 9abc + 2(a+b+c)^3 \geqslant 7(ab+bc+ca)(a+b+c)}$

η οποία είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{ 2\sum a^3 + 6\sum ab(a+b) + 21abc \geqslant 7\sum ab(a+b) + 21abc}$

Μένει λοιπόν να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ 2\sum a^3 \geqslant \sum ab(a+b)}$

η οποία είναι απλή.

[Π.χ. είναι άμεση από την $a^3 + b^3 - ab(a+b) = (a-b)(a^2-b^2) = (a-b)^2(a+b) \geqslant 0$ .]

Ορέστης Λιγνός · #5

Καλημέρα , Δημήτρη!
Ωραία λύση , πολύ απλή και κατανοητή . Μπορούμε όμως και αλλιώς !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

orestis26 έγραψε: Με ομογενοποίηση

Μα και ο Δημήτρης ομογενοποίηση έκανε!!!

Υ.Γ.1 Όταν προτείνεται ένα πρόβλημα οι λύτες δεν είναι υποχρεωμένοι να βρουν τη λύση που έχει στο μυαλό του αυτός που το προτείνει.
Αν αυτός που το προτείνει θεωρεί ότι η λύση του έχει να προφέρει κάτι ή είναι πιο σύντομη, μπορεί να τη βάζει μόνος του.

Υ.Γ 2. Καλό είναι όταν προτείνονται 10 άσκησεις να περιμένουμε να λυθούν (ένα εύλογο χρονικό διάστημα) και ύστερα να ποστάρουμε τις άλλες 10.

Ορέστης Λιγνός · #7

Σωστά Σιλουανέ και συγγνώμη !

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση