Ανισότητα!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Ορέστης Λιγνός: Δημοσιεύσεις: 1862; Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm; Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής; Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Ιστοσελίδα

Ανισότητα!

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Μάιος 13, 2016 8:49 pm

Αν οι

είναι θετικοί με a^2+b^2+c^2=1

, να δειχτεί ότι $\sum{\displaystyle\frac{1}{1-ab}}\leq \displaystyle\frac{9}{2}$ .

Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!

matha: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 6428; Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα!

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Μάιος 16, 2016 10:21 am

Είναι

$\displaystyle{\sum \frac{1}{1-ab}=\sum \frac{1-ab+ab}{1-ab}=3+\sum \frac{ab}{1-ab},}$

οπότε αρκεί

$\displaystyle{\sum \frac{ab}{1-ab}\leq \frac{3}{2}.}$

Είναι

$\displaystyle{\sum \frac{ab}{1-ab}=\frac{1}{4}\sum \frac{4ab}{1-ab}\leq \frac{1}{4}\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+c^2-ab}=}$

$\displaystyle{= \frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2+a^2+b^2+2c^2}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}\stackrel{C-S}{\leq}}$

$\displaystyle{\leq \frac{1}{2}\sum \left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{3}{2}.}$

Μάγκος Θάνος

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης