Ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω οι θετικοί a,b,c

με $\displaystyle\frac{1}{a} +\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}=1$ .
Να δειχθεί ότι $\sum{\sqrt{a+bc}} \geq \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ .

#2

Η δοσμένη υπόθεση γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {abc} = \sqrt {\frac{{ab}}{c}} + \sqrt {\frac{{bc}}{a}} + \sqrt {\frac{{ca}}{b}} ,}$

οπότε η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται:

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\sqrt {a + bc} } \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {\sqrt {\frac{{bc}}{a}} + \sqrt a } \right)} .}$

Έτσι, αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\sqrt {a + bc} \ge \sqrt {\frac{{bc}}{a}} + \sqrt a .}$

Είναι:

$\displaystyle{\sqrt {a + bc} \ge \sqrt {\frac{{bc}}{a}} + \sqrt a \Leftrightarrow a + bc \ge \frac{{bc}}{a} + a + 2\sqrt {bc} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow bc\left( {1 - \frac{1}{a}} \right) \ge 2\sqrt {bc} \Leftrightarrow bc\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 2\sqrt {bc} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} ,}$

που ισχύει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Έτσι, η αποδεικτέα ανισότητα έπεται και ισχύει ως ισότητα αν και μόνο αν $\displaystyle{a = b = c = 3.}$

#3

Και λίγο διαφορετικά...

Είναι:

$\displaystyle{\sqrt {a + bc} = \sqrt {a + bc\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)} = \sqrt {a + \frac{{bc}}{a} + b + c} = \sqrt {\frac{{{a^2} + bc + ab + ac}}{a}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}{{\sqrt a }}\mathop \ge \limits^{{\rm{C - S}}} \frac{{a + \sqrt {bc} }}{{\sqrt a }} = \sqrt a + \frac{{\sqrt {abc} }}{a},}$

οπότε

$\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\sqrt {a + bc} } \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {\sqrt a + \frac{{\sqrt {abc} }}{a}} \right)} = \sum\limits_{cyc} {\sqrt a } + \sqrt {abc} \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \sum\limits_{cyc} {\sqrt a } + \sqrt {abc} .}$

Ορέστης Λιγνός · #4

Βαγγέλη!

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση