Ανισότητα!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1862
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Ανισότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός »

Αν a,b,c > 0 με a+b+c=1, να δειχτεί ότι \sum{\displaystyle\frac{a^2+a}{2a+b^2+c^2}}\leq\displaystyle\frac{3}{2}.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1419
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement »

Ισχύει \displaystyle \frac{a + a^2}{2a + b^2 + c^2} = \frac{2a(a+1)}{4a + (b+c)^2 + (b-c)^2} = \frac{2a(a+1)}{(1+a)^2 + (b-c)^2} \leq \frac{2a}{1+a}.

Επειδή \displaystyle \frac{2a}{1+a} = 2 - \frac{2}{1+a} και \displaystyle \sum \frac{1}{1+a} \geq \frac{9}{4} (Cauchy-Schwarz), προκύπτει το ζητούμενο.
Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης