Ανισότητα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν οι

είναι θετικοί με άθροισμα ίσο με

, να δειχθεί ότι $\sum{\displaystyle\frac{1+a}{1-a}}\leq 2( \displaystyle\frac{b}{a} + \displaystyle\frac{c}{b} + \displaystyle\frac{a}{c})$ .

sot arm · #2

Το αριστερό μέλος γράφεται:
$\displaystyle \sum{\frac{2a+b+c}{b+c}} = \sum{\frac{2a}{b+c}} + 3$
Είναι γνωστό από ΑΜ-ΓΜ:
$\displaystyle \frac{2a}{b+c} \leq \frac{2ab+2ac}{4bc} = \frac{a}{2c}+\frac{a}{2b}$
ή για όλη την παράσταση:
$\displaystyle \sum{\frac{2a}{b+c}}\leq \sum{\frac{a}{2b}+\frac{a}{2c}}$
Επίσης έχω από ΑΜ-ΓΜ:
$\displaystyle \frac{b}{a} + \frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq 3$
Άρα αρκεί να δειχθεί ότι:
$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$
Χωρίς βλάβη στην γενικότητα, υποθέτω ότι:
$\displaystyle a\geq b\geq c \Leftrightarrow \frac{1}{c}\geq \frac{1}{b}\geq\frac{1}{a}$
Και από ανισότητα αναδιάταξης, έπεται το ζητούμενο.
Υ.Γ. με μια επιφύλαξη για το τελευταίο βήμα.

Ορέστης Λιγνός · #3

Ωραία Σωτήρη!

#4

sot arm έγραψε: Άρα αρκεί να δειχθεί ότι:
$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$

H παραπάνω δεν ισχύει πάντα και το λάθος στην απόδειξή της είναι εδώ:

sot arm έγραψε: Χωρίς βλάβη στην γενικότητα, υποθέτω ότι:
$\displaystyle a\geq b\geq c$

Η γενικότητα βλάπτεται εδώ γιατί η προς απόδειξη δεν είναι συμμετρική.

#5

sot arm έγραψε: Άρα αρκεί να δειχθεί ότι:
$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$

Δεν ισχύει. Για παράδειγμα για $a=1, \, b = 2, \, c=10$ παίρνουμε το εσφαλμένο $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{10}+ 10 \leq 2 + 5 +\frac{1}{10}$

(Το είχα ξαναγράψει αυτό σήμερα το πρωί αλλά φαίνεται ότι σβήστηκε από την βλάβη που είχε ο server. Το ξαναγράφω για λόγους πληρότητας)

#6

orestis26 έγραψε:Αν οι είναι θετικοί με άθροισμα ίσο με , να δειχθεί ότι $\sum{\displaystyle\frac{1+a}{1-a}}\leq 2( \displaystyle\frac{b}{a} + \displaystyle\frac{c}{b} + \displaystyle\frac{a}{c})$ .

Και γω είχα γράψει απόδειξη, αλλά διεγράφη.

Θα αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{2\left( \displaystyle\frac{b}{a} + \displaystyle\frac{c}{b} + \displaystyle\frac{a}{c}\right) \geq \sum \frac{2a+b+c}{b+c}}$

δηλαδή

$\displaystyle{2\left( \displaystyle\frac{b}{a} + \displaystyle\frac{c}{b} + \displaystyle\frac{a}{c}\right) \geq 3+2\sum \frac{a}{b+c}}$

ή αλλιώς

$\displaystyle{\displaystyle\frac{b}{a} + \displaystyle\frac{c}{b} + \displaystyle\frac{a}{c}-\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}.}$

Αυτή γράφεται

$\displaystyle{\frac{ab}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(c+a)}+\frac{ca}{b(a+b)}\geq \frac{3}{2}.}$

Από Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle{\frac{ab}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(c+a)}+\frac{ca}{b(a+b)}=\frac{(ab)^2}{abc(b+c)}+\frac{(bc)^2}{abc(c+a)}+\frac{(ca)^2}{abc(a+b)}\geq }$

$\displaystyle{\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(a+b+c)}\geq \frac{3}{2},}$

λόγω της $\displaystyle{(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx).}$

Ορέστης Λιγνός · #7

Ωραία λύση κ. Θάνο !

Ανισότητα!

Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Re: Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση