Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Επιτροπή Θεμάτων 2018
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επιτροπή Θεμάτων 2018 » Τετ Μάιος 18, 2016 9:23 am

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα συζητήσουμε αποκλειστικά τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού (κατεύθυνσης) 2016 αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου.
them_mat_op_c_hmer_ns_160518.pdf
(148.02 KiB) Μεταφορτώθηκε 1173 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6728
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 18, 2016 10:56 am

ΘΕΜΑ Β

Β.1 H f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με \displaystyle{f'(x) = \frac{{2x({x^2} + 1) - 2{x^3}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \frac{{2x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0}

H f είναι λοιπόν γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{( - \infty ,0]}, γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{[0, + \infty )} και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο

στο x_0=0 ίσο με f(0)=0

B.2 H f' είναι παραγωγίσιμη στο R με \displaystyle{f''(x) = \frac{{2{{({x^2} + 1)}^2} - 8{x^2}({x^2} + 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^4}}} = \frac{{2(1 - 3{x^2})}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}

Μελετώντας το πρόσημο του 1-3x^2 βρίσκουμε ότι η f είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{\left( { - \infty , - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right],\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}, + \infty } \right)} και κυρτή στο διάστημα \displaystyle{\left[ { - \frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]}

Τα σημεία \displaystyle{A\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{4}} \right),B\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{4}} \right)} είναι σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

Β.3 Η f ως συνεχής στο R δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες

\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x)}, άρα η ευθεία \boxed{y=1} είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο \displaystyle{{ - \infty }} και στο \displaystyle{{ + \infty }}

Β.4 Τα συμπεράσματα αυτά φαίνονται στην παρακάτω γραφική παράσταση.
B.2016.png
B.2016.png (8.75 KiB) Προβλήθηκε 9233 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4025
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Μάιος 18, 2016 11:03 am

Καλημέρα σε όλους και καλή επιτυχία στους υποψηφίους!

Θέμα Δ

Δ1

\displaystyle \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {\left( {f(x) + f''(x)} \right) \cdot \eta \mu x\,dx}  = \pi  \Leftrightarrow \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {f\left( x \right) \cdot \left( { - \sigma \upsilon \nu x} \right)\,dx}  +

\displaystyle \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {{{\left( {f'} \right)}^\prime }\left( x \right) \cdot \eta \mu x\,dx}  = \pi

\displaystyle \begin{array}{l} 
\\ 
 &  &  & \;\; \Leftrightarrow \left[ { - f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x} \right]_0^\pi  + \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {f'\left( x \right) \cdot \sigma \upsilon \nu x\,dx} \\ 
 &  &  & \;\;\;\; + \left[ {f'\left( x \right)\eta \mu x} \right]_0^\pi  - \int_{\,\,0}^{\,\,\pi } {f'\left( x \right) \cdot \sigma \upsilon \nu x\,dx}  = \pi \\ 
 &  &  & \;\; \Leftrightarrow  - f\left( \pi  \right)\sigma \upsilon \nu \pi  + f\left( 0 \right)\sigma \upsilon \nu 0 + f'\left( \pi  \right)\eta \mu \pi  - f'\left( 0 \right)\eta \mu 0 = \pi \\ 
 &  &  & \;\; \Leftrightarrow f\left( \pi  \right) + f\left( 0 \right) = \pi  
\end{array}

Για \displaystyle x \ne 0, έστω \displaystyle g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu x}},οπότε \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) \cdot \eta \mu x = 1 \cdot 0 = 0

Αφού η \displaystyle f(x) είναι συνεχής στο \displaystyle x_0=0, είναι \displaystyle f(0) = 0

Οπότε \displaystyle f\left( \pi  \right) = \pi


Eίναι \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{{\eta \mu x}} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{f\left( x \right)}}{x}}}{{\frac{{\eta \mu x}}{x}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{x}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{x}}} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1

άρα \displaystyle\[f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}  = \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1


dopfev
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Τετ Μάιος 18, 2016 11:15 am

Για το Δ3 κάποια ιδέα;


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Μάιος 18, 2016 11:18 am

dopfev έγραψε:Για το Δ3 κάποια ιδέα;
Μηδενική επι φραγμένη.


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 888
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τετ Μάιος 18, 2016 11:18 am

dopfev έγραψε:Για το Δ3 κάποια ιδέα;
Το γεγονός ότι f(R)=R με την f συνεχή και γνησίως αύξουσα δείχνει ότι το όριο της f στο + \infty ισούται με + \infty. Το όριο πλέον αντιμετωπίζεται με αυτό που λέμε "μηδενική επί φραγμένη"


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
themata
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 19, 2009 11:43 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από themata » Τετ Μάιος 18, 2016 11:18 am

κριτηριο παρεμβολης


Η ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΕΡΔΙΣΕΙ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΗΛΙΘΙΟΤΗΤΑ - ΑΡΚΑΣ
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Τετ Μάιος 18, 2016 11:21 am

dopfev έγραψε:Για το Δ3 κάποια ιδέα;
Από το σύνολο τιμών προκύπτει το όριο της f στο +οο ότι είναι +οο. Οπότε μηδενική επί φραγμένη.


Παντούλας Περικλής
eleni milioti
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Παρ Απρ 11, 2014 8:32 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από eleni milioti » Τετ Μάιος 18, 2016 11:21 am

με κριτήριο παρεμβολής καταλήγω να βρω το \lim f(x) στο +\infty το οποίο απο σύνολο τιμων της f ειναι +\infty. αρα το 1/f(x) τείνει στο 0
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Τετ Μάιος 18, 2016 12:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε LaTeX


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1716
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τετ Μάιος 18, 2016 11:23 am

Για το Δ3


Αφού f γνησίως αύξουσα στο R και συνεχής με σύνολο τιμών το R, θα είναι \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty, άρα f(x)>0 για x μεγάλο θετικό και -1\leq sinx\leq 1\Leftrightarrow \frac{-1}{f(x)}\leq \frac{sinx}{f(x)}\leq \frac{1}{f(x)}, \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}(-\frac{1}{f(x)}=0, άρα από κριτήριο παρεμβολής , \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{sinx}{f(x)}=0, όμοια και \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{cosx}{f(x)}=0 και το τελικό όριο είναι μηδέν.

Με πρόλαβαν, το αφήνω για τον κόπο.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Βαγγέλης Κορφιάτης
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Δευ Ιουν 02, 2014 11:19 am

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βαγγέλης Κορφιάτης » Τετ Μάιος 18, 2016 11:29 am

Επειδή f(\mathbb{R}) = \mathbb{R} και η f είναι γνησίως αύξουσα ισχύει ότι:
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) =  + \infty
\displaystyle{\left| {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f(x)}}} \right| \leqslant \frac{2}{{|f(x)|}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left| {\frac{{\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x}}{{f(x)}}} \right| = 0}
τελευταία επεξεργασία από Βαγγέλης Κορφιάτης σε Τετ Μάιος 18, 2016 11:32 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ann79
Δημοσιεύσεις: 184
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τετ Μάιος 18, 2016 11:31 am

Απόψεις για το Δ2 (β);


themata
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 19, 2009 11:43 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από themata » Τετ Μάιος 18, 2016 11:31 am

για το Γ καποιο σχόλιο;


Η ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΕΡΔΙΣΕΙ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΗΛΙΘΙΟΤΗΤΑ - ΑΡΚΑΣ
themata
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 19, 2009 11:43 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από themata » Τετ Μάιος 18, 2016 11:32 am

ann79 έγραψε:Απόψεις για το Δ2 (β);
η f' ειναι συνεχης και μη μηδενικη αρα διατηρει σταθερο προσημο με f'(0)=1 >0
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Τετ Μάιος 18, 2016 12:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε LaTeX


Η ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΕΡΔΙΣΕΙ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΗΛΙΘΙΟΤΗΤΑ - ΑΡΚΑΣ
dopfev
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Τετ Μάιος 18, 2016 11:33 am

themata έγραψε:για το Γ καποιο σχόλιο;
Στο Γ2 είναι 4 οι συναρτήσεις ή κάνω λάθος;


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 888
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τετ Μάιος 18, 2016 11:33 am

themata έγραψε:για το Γ καποιο σχόλιο;
αγκάθι για τους μαθητές.
Ας βάλουμε τις λύσεις με ηρεμία και ας αφήσουμε για μετά τα σχόλια.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
aggelospap
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 25, 2009 10:36 am
Τοποθεσία: ΓΑΣΤΟΥΝΗ ΗΛΕΙΑΣ

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από aggelospap » Τετ Μάιος 18, 2016 11:34 am

Τα σωστα λαθος-Λ-Σ-Λ-Σ-Σ


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Μάιος 18, 2016 11:35 am

ΘΕΜΑ Δ

Δ1 Από τη συνέχεια της f έχουμε ότι \lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0). Αν τώρα f(0)\neq 0 τότε
\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{\sin x}=\pm\infty άτοπο.

Επομένως f(0)=0. Επιπλέον εφαρμόζοντας Del' Hospital (μπορούμε γιατί λόγω της συνέχειας το όριο \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{\cos x} υπάρχει), παίρνουμε ότι \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{\cos x}=1 και από τη συνέχεια της f' έπεται ότι f'(0)=1.

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες δύο φορές έχουμε ότι

\displaystyle\int_{0}^{\pi}f''(x)\sin x\, dx=-\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos x\, dx=f(\pi)+f(0)-\int_{0}^{\pi}f(x)\sin x\, dx, οπότε από τη δοθείσα έχουμε ότι

f(\pi)+f(0)=\pi και αφού f(0)=0, θα είναι f(\pi)=\pi.

Δ2
Με παραγώγιση στη δοθείσα παίρνουμε \displaystyle e^{f(x)}f'(x)+1=f'(x)f'(f(x))+e^x
Έστω τώρα z τέτοιο ώστε f'(z)=0, τότε από την παραπάνω παίρνω ότι e^z=1 δηλαδή z=0, άτοπο, αφού f'(0)=1.
Άρα η f δεν έχει ακρότατα.
Επομένως η f' είναι μη μηδενιζόμενη και ως συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο. Δεδομένου ότι f'(0)=1, θα έχουμε ότι f'(x)>0 για κάθε x, άρα f γνήσια αύξουσα.

Δ3 f(\mathbb{R})=\mathbb{R}, έπεται ότι η f δεν είναι φραγμένη. Αυτό σε συνδυασμό με το γεγονός ότι f είναι γνήσια αύξουσα, συνεπάγεται ότι \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty

Επιπλέον |\sin x+\cos x|\leq 2 επόμενως είμαστε στην περίπτωση μηδενική επί φραγμένη και το ζητούμενο όριο ισούται με 0.

Δ4 Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε ότι f(0)=f(\ln 1)\leq f(\ln x)\leq f(\pi)=\pi για κάθε x\in [1,e^{\pi}].

Επομένως
\displaystyle 0\leq\int_{1}^{e^{\pi}}\frac{f(\ln x)}{x}\, dx\leq \int_{1}^{e^{\pi}}\frac{\pi}{x}\, dx=\pi^2.

Η ισότητα αριστερά και δεξιά ισχύει αν και μόνο αν η f είναι σταθερή (λόγω συνέχειας), το οποίο είναι άτοπο καθώς είναι γνησίως αύξουσα.

edit: Έγινε και προσθήκη επεξήγησης γιατί εφαρμόζεται ο κανόνας του l'Hôpital
τελευταία επεξεργασία από silouan σε Τετ Μάιος 18, 2016 5:58 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
xrimak
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Παρ Οκτ 28, 2011 12:21 am

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xrimak » Τετ Μάιος 18, 2016 11:36 am

ann79 έγραψε:Απόψεις για το Δ2 (β);
f'(x) όχι 0 και συνεχης αρα διατηρει προσημο αρα θετικη απο το f'(0)=1
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Τετ Μάιος 18, 2016 12:09 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε LaTeX


Nikkie
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2009 4:41 pm

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikkie » Τετ Μάιος 18, 2016 11:37 am

το Γ4!!
τελευταία επεξεργασία από Nikkie σε Τετ Μάιος 18, 2016 11:43 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης