Σταθερή συνάρτηση

APOSTOLAKIS · #1

Α. Δίνεται η περιοδική συνάρτηση $F:R\rightarrow R$ για την οποία υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }F(x) = l, l\in R$ . Να αποδείξετε ότι η

είναι σταθερή.
Β. Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ τέτοια ώστε:

$\lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x)-x)=2016$

για κάθε $x\in R$
Να βρείτε τον τύπο της f.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

ΥΓ: Το Α ερώτημα μάλλον δεν μπορούμε να το απαντήσουμε με την ύλη της Γ Λυκείου;

hsiodos · #2

APOSTOLAKIS έγραψε:Α. Δίνεται η περιοδική συνάρτηση $F:R\rightarrow R$ για την οποία υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }F(x) = l, l\in R$ . Να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή.
Β. Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ τέτοια ώστε:
$\lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x)-x)=2016$
για κάθε $x\in R$
Να βρείτε τον τύπο της f.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

ΥΓ: Το Α ερώτημα μάλλον δεν μπορούμε να το απαντήσουμε με την ύλη της Γ Λυκείου;

A. Ονομάζουμε $\displaystyle{T}$ την μικρότερη θετική περίοδο της $\displaystyle{\,F}$ . Θα ισχύει $\displaystyle{\,F\left( {x + nT} \right) = F(x)\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\, \wedge \,\,\forall \,n \in {N^*}\,\,\,}$

Έστω $\displaystyle{x \in R}$

Είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } F\left( {x + nT} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } F(x)\, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } F\left( {x + nT} \right) = F(x)\mathop \Rightarrow \limits^{y = x + nT} \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } F\left( y \right) = F(x) \Rightarrow F(x) = \ell }$

Επομένως $\displaystyle{F(x) = \ell \,\,\,\forall x \in R}$

Β. Από την δοσμένη σχέση έχουμε ότι $\displaystyle{\,f(x + 2) - f(x + 1) = f(x + 1) - f(x) \Rightarrow g(x + 1) = g(x)\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,g(x) = f(x + 1) - f(x)}$ .

Προκύπτει ότι η $\displaystyle{g}$ είναι περιοδική με περίοδο $\displaystyle{{T_1} = 1}$ .

Είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f(x + 1) - f(x)} \right)}$ $\displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f(x + 1) - \left( {x + 1} \right) - \left( {f(x) - x} \right) + 1} \right) = 2016 - 2016 + 1 = 1}$

Από το Α. προκύπτει ότι $\displaystyle{g(x) = f(x + 1) - f(x) = 1\,\,\,\,\,\,\forall x \in R}$ .

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{h(x) = f(x) - x - 2016\,\,,\,\,x \in R}$ .

$\displaystyle{\forall x \in R}$ είναι $\displaystyle{h(x + 1) = f(x + 1) - x - 2017 = 1 + f(x) - x - 2017 = h(x)}$ , άρα η $\displaystyle{h}$ είναι περιοδική με περίοδο $\displaystyle{{T_1} = 1}$ .

Τώρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f(x) - x - 2016} \right) = 0}$ .

Από το Α. προκύπτει ότι $\displaystyle{\forall x \in R\,\,\,\,\,\,\,h(x) = 0 \Rightarrow f(x) = x + 2016}$ (επαληθεύει)

#3

hsiodos έγραψε: Ονομάζουμε $\displaystyle{T}$ την μικρότερη θετική περίοδο της $\displaystyle{\,F}$

Γιώργο, ας σημειώσω ότι δεν χρειάζεται να πάρουμε την "μικρότερη θετική περίοδο" αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε θετική περίοδο. Η απόδειξή σου περνάει ατόφια.

Το λέω αυτό γιατί μπορεί να μην υπάρχει "μικρότερη θετική περίοδος". Για παράδειγμα η $\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1, & \text{ if } x \in \mathbb Q \\ 0, & \text{ if } x \in \mathbb R - \mathbb Q \end{cases}}$

έχει περίοδο κάθε θετικό ρητό, οπότε δεν υπάρχει μικρότερη θετική περίοδος.

hsiodos · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε:
hsiodos έγραψε: Ονομάζουμε $\displaystyle{T}$ την μικρότερη θετική περίοδο της $\displaystyle{\,F}$
Γιώργο, ας σημειώσω ότι δεν χρειάζεται να πάρουμε την "μικρότερη θετική περίοδο" αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε θετική περίοδο. Η απόδειξή σου περνάει ατόφια.

Το λέω αυτό γιατί μπορεί να μην υπάρχει "μικρότερη θετική περίοδος". Για παράδειγμα η $\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1, & \text{ if } x \in \mathbb Q \\ 0, & \text{ if } x \in \mathbb R - \mathbb Q \end{cases}}$

έχει περίοδο κάθε θετικό ρητό, οπότε δεν υπάρχει μικρότερη θετική περίοδος.

Μιχάλη σωστά , ωραία παρατήρηση!

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση