Ολοκλήρωμα

vassilisg98 · #1

Γι'αυτούς που κρατούν ακόμα ...
Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα :
$\int{x^2\sqrt{1-x^2}{dx}$

BAGGP93 · #2

vassilisg98 έγραψε:Γι'αυτούς που κρατούν ακόμα ...
Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα :
$\int{x^2\sqrt{1-x^2}{dx}$

Δεν νομίζω ότι είναι στον κατάλληλο φάκελο, αλλά, δίνω μια απάντηση.

Ολοκληρώνουμε στο $\displaystyle{\left(-1,1\right)}$ .

$\displaystyle{\begin{aligned} I&=\int x^2\,\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x\\&=\int \left(-\dfrac{1}{2}\,x\right)\,\left(-2\,x\right)\,\left(1-x^2\right)^{1/2}\,\mathrm{d}x\\&=\int \left(-\dfrac{1}{2}\,x\right)\,\mathrm{d}\,\left[\left(\dfrac{2}{3}\,(1-x^2)^{3/2}\right)\right]\\&=-\dfrac{1}{3}\,x\,\left(1-x^2\right)^{3/2}+\dfrac{1}{3}\,\int \left(1-x^2\right)^{3/2}\,\mathrm{d}x\\&=-\dfrac{1}{3}\,x\,\left(1-x^2\right)^{3/2}+\dfrac{1}{3}\,\int (1-x^2)\,\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x\\&=-\dfrac{1}{3}\,x\,\left(1-x^2\right)^{3/2}+\dfrac{1}{3}\,\int \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{3}\,\int x^2\,\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x\\&=-\dfrac{1}{3}\,x\,\left(1-x^2\right)^{3/2}+\dfrac{1}{3}\,\int \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{3}\,I\end{aligned}}$

Επομένως,

$\displaystyle{I=-\dfrac{1}{4}\,x\,\left(1-x^2\right)^{3/2}+\dfrac{1}{4}\,\int \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x}$ ,

όπου το τελευταίο ολοκλήρωμα με τη γνωστή αντικαταστάση $\displaystyle{x=\sin\,y\,,y\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)}$ , δίνει

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x&=\int \cos^2\,y\,\mathrm{d}y\\&=\int \dfrac{1+\cos\,(2\,y)}{2}\,\mathrm{d}y\\&=\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}\,\sin\,(2\,y)\\&=\dfrac{\arcsin\,x}{2}+\dfrac{1}{2}\,\sin\,y\,\cos\,y\\&=\dfrac{1}{2}\,\arcsin\,x+\dfrac{1}{2}\,x\,\sqrt{1-x^2}+c\,,c\in\mathbb{R}\end{aligned}}$

Τελικά,

$\displaystyle{I=\int x^2\,\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{4}\,x\,\left(1-x^2\right)^{3/2}+\dfrac{1}{8}\,\arcsin\,x+\dfrac{1}{8}\,x\,\sqrt{1-x^2}+c\,,c\in\mathbb{R}}$

#3

vassilisg98 έγραψε: Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα :
$\int{x^2\sqrt{1-x^2}{dx}$

Αλλιώς, χάριν ποικιλίας: Η αλλαγή μεταβλητής $x=\sin u$ δίνει

$\int{x^2\sqrt{1-x^2}{dx}= \int{\sin^2 u \cos u \cos u {du}= \frac {1}{4}\int{\sin^2 2u {du}$

$= \frac {1}{8}\int{( 1-\cos 4u) {du}=\frac {1}{8}u-\frac {1}{32} \sin 4u +c$

$=\frac {1}{8}u-\frac {1}{32} ( 8 \sin u \cos ^3 u - 4 \sin u \cos u) +c$

$=\frac {1}{8}\arcsin x -\frac {1}{4}x (1-x^2)^{3/2} + \frac {1}{8}x (1-x^2)^{1/2} +c$

Φιλικά,

Μιχάλης

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση