Είναι τα μόνα submodules;

Ειρήνη 33 · #1

Χαίρετε.

Έστω

η γραμμική απεικόνιση από το $\mathbb{R}^2$ στο $\mathbb{R}^2$ που δίνεται από την προβολή στον

-άξονα.
Έστω

ένας διανυσματικός υπόχωρος διάστασης

.
Τότε το

είναι μια ευθεία, άρα είναι της μορφής $\{t(x,y) : t\in \mathbb{R}\}=\mathbb{R}(x,y)$ .
Για να ισχύει $T(V)\subseteq V$ έχουμε ότι $T(t_0x_0, t_0y_0)=(rx_0, ry_0) \Rightarrow (0, t_0y_0)=(rx_0, ry_0) \ \ (*)$ , για κάποιο $r\in \mathbb{R}$ .

Αν y_0=0

τότε η

ισχύει για r=0

και $\forall x_0$ .
Άρα το

είναι ο

-άξονας.
Οπότε ο

-άξονας είναι ένα $\mathbb{R}[x]$ -submodule του $\mathbb{R}^2$ .

Αν $y_0\neq 0$ τότε επιλέγουμε r=t_0

και πρέπει x_0=0

.
Άρα το

είναι ο

-άξονας.
Οπότε ο

-άξονας είναι ένα $\mathbb{R}[x]$ -submodule του $\mathbb{R}^2$ .

Είναι σωστό αυτό;
Συμπεραίνουμε από αυτά ότι τα μόνα $\mathbb{R}[x]$ -submodule του $\mathbb{R}^2$ είναι ο

-άξονας και ο

-άξονας;

#2

Η σύστασή μου είναι να ξεφύγεις από αυτή την ανασφάλεια. Δεν είναι δυνατόν για μία ΤΟΣΟ ΑΠΛΗ άσκηση να μην έχεις την πεποίθηση αν η λύση είναι σωστή ή όχι.

Όπως και να είναι:

Ειρήνη 33 έγραψε: Αν $y_0\neq 0$ τότε επιλέγουμε και πρέπει .

Η έκφραση είναι προβληματική εδώ. Το

δεν το "επιλέγουμε" αλλά "έπεται ότι είναι τόσο".

Ειρήνη 33 έγραψε: Συμπεραίνουμε από αυτά ότι τα μόνα $\mathbb{R}[x]$ -submodule του $\mathbb{R}^2$ είναι ο -άξονας και ο -άξονας;

Μάλλον θέλεις να πεις ότι συμπεραίνουμε πως "οι μόνοι αναλλοίωτοι υπόχωροι του

είναι οι τάδε".

Αυτό είναι σωστό με την προσθήκη ότι αυτοί είναι οι μόνοι μονοδιάστατοι/μη τετριμμένοι αναλλοίωτοι υπόχωροι. Αν κάνεις το σχήμα, θα δεις και γιατί είναι οι μόνοι.

Ειρήνη 33 · #3

Ευχαριστώ πολύ!

BAGGP93 · #4

Γεια σου Ειρήνη. Γεια σας κύριε Μιχάλη. Καθώς διάβαζα την πρώτη δημοσίευση της Ειρήνης, μπερδέυτηκα γιατί απαιτούσε $\displaystyle{T(V)\subseteq V}$

και μετά ζητούσε $\displaystyle{\mathbb{R}[x]}$ - υποπρότυπα.

Το σκέφτηκα και γράφω μια αναλυτικότερη λύση.

Έχουμε τη γραμμική απεικόνιση $\displaystyle{T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\,,T(x,y)=(0,y)}$ , που είναι η προβολή στον κλειστό υπόχωρο

$\displaystyle{\langle{(0,1)\rangle}}$ και ισχύει ότι $\displaystyle{T^2=T\,\,,T^n=T\,,n\geq 3}$ .

Η αβελιανή ομάδα $\displaystyle{\left(\mathbb{R}^2,+\right)$ αποκτά δομή $\displaystyle{\mathbb{R}[x]}$ - προτύπου από τη δράση

$\displaystyle{\mathbb{R}[x]\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\,\,,\left(\sum_{i=0}^{n}a_i\,x^i\right)\,(x,y)\mapsto \sum_{i=0}^{n}a_i\,T^{i}(x,y)}$ .

Έστω $\displaystyle{V=\langle{(u_0,v_0)\rangle}}$ διανυσματικός υπόχωρος του $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$ και

$\displaystyle{\mathbb{R}[x]}$ - υποπρότυπο του $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$ .

Για $\displaystyle{f(x)=x\in\mathbb{R}[x]}$ και $\displaystyle{(u_0,v_0)\in V}$ έχουμε,

$\displaystyle{(x)\,(u_0,v_0)\in V\implies T(u_0,v_0)\in V}$ .

Λόγω γραμμικότητας του $\displaystyle{T}$ , έπεται ότι $\displaystyle{T(V)\subseteq V}$ .

Αντίστροφα τώρα, έστω $\displaystyle{T(V)\subseteq V}$ , όπου $\displaystyle{V=\langle{(u_0,v_0)\rangle}}$ .

Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{f(x)\,(u_0,v_0)\in V}$ για κάθε $\displaystyle{f(x)\in\mathbb{R}[x]}$ ..

Πράγματι, αν $\displaystyle{f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i\,x^i\in\mathbb{R}[x]}$ και αφού $\displaystyle{T^n=T\,,n\geq 2}$ , έχουμε

$\displaystyle{f(x)\,(u_0,v_0)=a_0\,(u_0,v_0)+a_1\,T(u_0,v_0)+a_2\,T(u_0,v_0)+...+a_n\,T(u_0,v_0)\in V}$ (ως άθροισμα στοιχείων αυτού).

Συμπέρασμα

Ένας μονοδιάστατος υπόχωρος $\displaystyle{V}$ του $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$ είναι $\displaystyle{\mathbb{R}[x]}$

υπόπροτυπο αυτού αν, και μόνο αν, $\displaystyle{T(V)\subseteq V}$ .

Συγκεκριμμένα

Αν $\displaystyle{V_1=\langle{(0,1)\rangle}}$ , τότε $\displaystyle{T(0,1)=(0,1)\in V_1\implies T(V_1)\subseteq V_1}$ .

Αν $\displaystyle{V_2=\langle{(1,0)\rangle}}$ , τότε $\displaystyle{T(1,0)=(0,0)\in V_2\implies T(V_2)\subseteq V_2}$ .

Άρα οι δύο άξονες είναι $\displaystyle{\mathbb{R}[x]}$ - υποπρότυπα.

Έστω τώρα $\displaystyle{V=\langle{(a,b)\rangle}}$ με $\displaystyle{a\neq 0}$ και $\displaystyle{b\neq 0}$ ένα $\displaystyle{\mathbb{R}[x]}$ - υποπρότυπο.

(Αν $\displaystyle{a=0}$ ή $\displaystyle{b=0}$ , τότε $\displaystyle{V=V_1}$ ή $\displaystyle{V=V_2}$ ).

Τότε,

$\displaystyle{T(a,b)\in V\implies (0,b)\in V\stackrel{b\neq 0}{\implies} (0,1)\in V}$ και έτσι υπάρχει $\displaystyle{k\in\mathbb{R}}$

ώστε $\displaystyle{(0,1)=(k\,a,k\,b)\implies k=0\implies (0,1)=(0,0)}$ , άτοπο.

Συνεπώς, οι μόνοι μονοδιάστατοι υπόχωροι, που είναι ταυτόχρονα $\displaystyle{\mathbb{R}[x]}$ - υποπρότυπα του $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$

είναι οι άξονες.

#5

Βαγγέλη, σωστά αλλά σχεδόν όλα που γράφεις είναι περιττά. Επίσης πλατειάζουν σε απίστευτο βαθμό ενώ τα Μαθηματικά είναι η τέχνη της λιτής γραφής.

Για παράδειγμα, από την $T(V)\subseteq V$ έπεται ΑΜΕΣΩΣ ότι $T^n(V) \subseteq V$ . Π.χ. $T^2(V)= T(T(V)) \subseteq T(V) \subseteq V$ (δηλαδή ισχύει - μάλιστα γενικότερα από αυτό που γράφεις - όχι μόνο για προβολές). Το σημαντικό είναι ότι δεν χρειάζεται καν να αποδείξεις $p(T) (V) \subseteq V$ .

#6

Γράφω πιο απλή λύση στο αρχικό ερώτημα:

Έστω $V\subseteq \mathbb R ^2$ μονοδιάστατος με $T(V) \subseteq V$ και έστω (x_o,y_o)

μη μηδενικό διάνυσμα του

.

α) Αν $y_o\ne 0$ . Από την υπόθεση έχουμε $(0, y_o) = T(x_o,y_o) \in V$ , οπότε ο μονοδιάστατος υπόχωρος $\{ \lambda (0, y_o) / \lambda \in \mathbb R\} \subseteq V$ . Αλλά το δεξί μέλος είναι επίσης μίας διάστασης, οπότε $\{ \lambda (0, y_o) / \lambda \in \mathbb R\} = V$ . Aυτό δίνει την μορφή του

(είναι ο άξονας των

) και αντίστροφα το

αυτό ικανοποιεί $T(V) \subseteq V$ .

β) Αν y_o = 0

και άρα $x_o\ne 0$ , εύκολα βλέπουμε ότι

είναι ο άξονας των

.

Δηλαδή βρήκαμε όλα τα μονοδιάστατα

με $T(V)\subseteq V$ (είναι δύο τον αριθμό).

Είναι τα μόνα submodules;

Είναι τα μόνα submodules;

Re: Είναι τα μόνα submodules;

Re: Είναι τα μόνα submodules;

Re: Είναι τα μόνα submodules;

Re: Είναι τα μόνα submodules;

Re: Είναι τα μόνα submodules;

Μέλη σε σύνδεση