ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα 114 από το αρχείο του Θάνου.

Αν $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ αποδείξτε ότι $\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}< 1$

chris · #2

Τηλέμαχε καλησπέρα!

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Αν $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ αποδείξτε ότι $\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}< 1$

1η Λύση

Είναι 0< a,b,c <1

και επίσης 1-c<1

άρα:
$\displaystyle \sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )} <\sqrt{ab}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )}$
$\displaystyle \leq \frac{a+b}{2}+\frac{1-a+1-b}{2}=1$

Ως εκ τούτου και με εντέλως παρόμοια λύση και τους ίδιους περιορισμούς έχουμε:
$\displaystyle \sqrt{a_1a_2...a_n}+\sqrt{\left ( 1-a_1 \right )\left ( 1-a_2 \right )...\left ( 1-a_n \right )}<1$

2η Λύση

Θέτουμε a=sin^2x,b=sin^2y,c=sin^2z

και η αρχική γίνεται:
$\displaystyle sinxsinysinz+cosxcosycosz<sinxsiny+cosxcosy=cos(x-y)\leq 1.$

Φαντάζομαι θα υπάρχουν και άλλοι τρόποι το ίδιο απλοί (πχ με ύψωμα στο τετράγωνο).

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Αν $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ αποδείξτε ότι $\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}< 1$

Τηλέμαχε και Χρήστο καλημέρα.
(όπως η 1η λύση του Χρήστου αλλά με a,b,c

)

Από $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ έχουμε $abc\in \left ( 0,1 \right )$ και $(1-a)(1-b)(1-c)\in \left ( 0,1 \right )$

$\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}<\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}\leq$ $\dfrac{a+b+c}{3}+\dfrac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3}=1$

#4

Ας την δυσκολέψουμε λίγο:

Αν $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ αποδείξτε ότι

$\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}\le$

$\le \min \left ( \, \max ( \sqrt a, \sqrt {1-a} ) ,\, \max (\sqrt b, \sqrt {1-b}),\, \max (\sqrt c, \sqrt {1-c}) \right )< 1$

Edit: Έκανα διόρθωση τυπογραφικού (έλλειπαν κάτι τετραγωνικές ρίζες).

nickthegreek · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ας την δυσκολέψουμε λίγο:

Αν $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ αποδείξτε ότι

$\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}\le$

$\le \min \left ( \, \max ( \sqrt a, \sqrt {1-a} ) ,\, \max (\sqrt b, \sqrt {1-b}),\, \max (\sqrt c, \sqrt {1-c}) \right )< 1$

Edit: Έκανα διόρθωση τυπογραφικού (έλλειπαν κάτι τετραγωνικές ρίζες).

Καλησπέρα κύριε Μιχάλη!

Μια γνώμη:

Ας την εξετάσουμε καλύτερα στο [0,1]

. Ας θεωρήσουμε σταθερό το

. Θα δείξουμε ότι $0 \leq \sqrt{abc} +\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq max\begin{Bmatrix} \sqrt{a} , \sqrt{1-a} \end{Bmatrix}$ . Iσοδύναμα, $0 \geq -\sqrt{abc} -\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \geq - max\begin{Bmatrix} \sqrt{a} , \sqrt{1-a} \end{Bmatrix}$

Η παράσταση πάνω είναι κυρτή ως προς κάθε μεταβλητή και άρα παίρνει τα άκρα της στα άκρα των διαστημάτων που ορίζεται. Επειδή ειδικά είναι αυστηρά κυρτή στο εσωτερικό, τα άκρα θα λαμβάνονται μόνο στις

κορυφές του τετραγώνου που σχηματίζεται από τα φράγματα στις μεταβλητές b,c

. Tο ζητούμενο έπεται.

Φιλικά,
Νίκος

#6

Γεια σου Νίκο. Καλά να περνάς εκεί στα ξένα.

Η δική μου λύση είναι στην ίδια κεντρική ιδέα, αλλά την προσαρμόζω ώστε να είναι
σε γλώσσα λίγο ποιο προσιτή σε μαθητές. Για χάρη πληρότητας την καταγράφω:

Από Cauchy-Schwarz έχουμε

$\sqrt{a} \sqrt {bc}+\sqrt{1-a} \sqrt {( 1-b )( 1-c )}\le$

$\le \sqrt{a+ 1-a} \sqrt {bc+ ( 1-b )( 1-c )}= \sqrt {bc+ ( 1-b )( 1-c )}$

Τώρα, η υπόριζη ποσότητα στο τελευταίο ριζικό είναι ευθεία ως προς

. Άρα παίρνει το μέγιστό
της σε ένα από τα άκρα της, b=0

ή

. Έτσι το μέγιστό της είναι ένα από τα
$\sqrt {0\cdot c+ ( 1-0 )( 1-c )} = \sqrt {1-c}$ ή $\sqrt {1\cdot c+ ( 1-1 )( 1-c )}= \sqrt c$ .

Στην κάθε περίπτωση πάντως, είναι $\le \max (\sqrt c, \sqrt {1-c})$ .

Κυκλικά εργαζόμενοι, η δοθείσα παράσταση είναι μικρότερη ή ίση και των

$\max ( \sqrt a, \sqrt {1-a} ) ,\, \max (\sqrt b, \sqrt {1-b})$ , οπότε μικρότερη ή ίση της μικρότερης από τις
τρεις, που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Φιλικά,

Μιχάλης

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 117

Μέλη σε σύνδεση