Σχέση Ισοδυναμίας

black_char · #1

Γεια σας, αυτό είναι το πρώτο θέμα που φτιάχνω.

Διάβαζα το μάθημα διακριτά μαθηματικά που το δίνω για Σεπτέμβρη και βρήκα μια άσκηση από τον διδάσκοντά μου στην κατηγορία σχέσεις ισοδυναμίας, που δεν είχε σχέση με τις άλλες ασκήσεις. Η άσκηση έχει ως εξής..

$xRy\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(l-m)*x = (m-2) *y^{2}-y$

Ερώτηση: Να βρεθούν τα

,

έτσι ώστε η

να είναι σχέση ισοδυναμίας.

Λοιπόν η απορία μου είναι τι ακριβώς πρέπει να ξέρω για να το λύσω αυτό, καθώς οι γνώσεις μου σε σχέσεις ισοδυναμίας δεν με βοηθάνε, επίσης συμβουλεύτηκα και το βιβλίο που έχουμε "Διακριτά Μαθηματικά (2η έκδοση), Lipschutz Seymour, Lipson Marc Lars" αλλά στην ενότητα διμελείς σχέσεις και σχέσεις ισοδυναμίας δεν έχει καμία παρόμοια άσκηση. Αλλά και στο google, αναζητώντας στα ελληνικά αλλά και στα αγγλικά! δεν βρήκα τίποτα παρόμοιο. Δεν ζητάω να μου πείτε την τελική λύση της (καθώς αυτή την έχω), αλλά πως θα την λύσω, κάποια βοήθεια, ή έστω τι γνώσεις πρέπει να έχω για να την λύσω.

Επίσης και online υλικό για να μελετήσω (στα ελληνικά ή αγγλικά) είναι ευπρόσδεκτο.

#2

Η σχέση πρέπει να είναι ανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική. Απαίτησε να ισχύουν αυτές οι ιδιότητες ξεκινώντας από την πρώτη.

black_char · #3

οκ, άρα λοιπόν αρχικά έχουμε:
$xRy\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(l-m)*x = (m-2) *y^{2}-y$

έστω:
$xRy\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} -x = y^{2} - y \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2} - y = x^{2} -x \quad\Longleftrightarrow\quad yRx$

τότε:
$xRy \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(l-m)*x = (m-2) *x^{2}-x$
(αντικατάσταση του $y^{2}-y$ με το $x^{2}-x$ )

αλλά και πάλι, πώς βρίσκουμε τα

,

;

#4

black_char έγραψε:...
τότε:
$xRy \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(l-m)*x = (m-2) *x^{2}-x$
(αντικατάσταση του $y^{2}-y$ με το $x^{2}-x$ )

αλλά και πάλι, πώς βρίσκουμε τα , ;

Η σχέση σου πρέπει να ισχύει για όλα τα

επομένως έχεις μια ισότητα πολυωνύμων...

black_char · #5

φίλε μου σε ευχαριστώ πάρα πολύ με την φράση κλειδί "ισότητα πολυωνύμων" με βοήθησες να το λύσω..
μπορεί να μην το πιστεύεις, αλλά είχα αρκετό καιρό να την εφαρμόσω, με αποτέλεσμα να ξεχάσω ότι υπάρχει..

#6

Θα πρότεινα να κατέγραφες με (έστω σχετική) λεπτομέρεια τα βήματα που κάνεις, για να σου πούμε την γνώμη μας. Φοβάμαι ότι αν τα έγραφες όπως παραπάνω σε διαγώνισμα, ο διδάσκων μάλλον θα έβαζε βαθμό

.

Με την ευκαιρία, κάνε και τις εξής διορθώσεις

black_char έγραψε: το διδάσκων μου

(τρία λάθη) και

black_char έγραψε: διμελής σχέσεις.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
black_char έγραψε: το διδάσκων μου
(τρία λάθη) και

Ωραία. Κάποια πρόοδος είναι και αυτή δεδομένου ότι τώρα τα λάθη είναι μόνο δύο:

black_char έγραψε: τον διδάσκον μας

Το "μου" ή "μας" δεν είναι λάθος. Περιμένουμε τα ουσιαστικά σφάλματα. Επίσης, καλό είναι να δούμε την λύση σου, αφού προετοιμάζεσαι για διαγώνισμα: Σου ευχόμαστε καλή τύχη από τώρα.

black_char · #8

μάλιστα σας ευχαριστώ πολύ
ευχαριστώ επίσης για τις παρατηρήσεις σας (βλέπετε αυτές μας κάνουν καλύτερους)

(αν και δεν βρήκα το τρίτο λάθος)
γιατί πιστεύετε ότι θα έπρεπε να πάρω

(έστω και για μέχρι εκεί που την έφτασα);
επί την ευκαιρία, έβγαλα ότι m = 3

και

#9

black_char έγραψε:αν και δεν βρήκα το τρίτο λάθος

Μάλλον δεν βρήκες ούτε το δεύτερο.

Η αιτιατική του ουσιαστικού "ο διδάσκων" είναι "τον διδάσκοντα". Τώρα, επειδή ακολουθεί το "μου" (ή "μας") υπάρχει αναβιβασμός τόνου και γράφουμε "τον διδάσκοντά μου".

black_char έγραψε: γιατί πιστεύετε ότι θα έπρεπε να πάρω

Γιατί η "λύση" δεν λέει απολύτως τίποτα (αν και η άσκηση είναι απόλυτα τετριμμένη). Για παράδειγμα η μεταβατική ιδιότητα έχει δύο υποθέσεις και πρέπει να δίξουμε μία συνεπαγωγή. Πού τα δείχνεις αυτά;

black_char · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε:Γιατί η "λύση" δεν λέει απολύτως τίποτα (αν και η άσκηση είναι απόλυτα τετριμμένη). Για παράδειγμα η μεταβατική ιδιότητα έχει δύο υποθέσεις και πρέπει να δείξουμε μία συνεπαγωγή. Πού τα δείχνεις αυτά;

Μα έτσι μας έδωσε τις απαντήσεις και ο διδάσκων σε ένα υπερβολικά παρόμοιο παράδειγμα (με χρήση της σχέσης ισοδυναμίας), βέβαια ίσως και να νόμιζε ότι μερικά από αυτά που παρέλειψε εννοούνται.. τι να πω..

Αν δεν με πιστεύετε, μπορώ να σας στείλω και εικόνες του τετραδίου με παραδείγματα από τον διδάσκοντα σε pm, βέβαια θα μου πείτε και πω ξέρω εγώ ότι αυτά στο τετράδιο, είναι ακριβώς αυτά που έγραψε/είπε ο καθηγητής, εκεί παραδέχομαι ότι δεν μπορώ να κάνω τίποτα.

#11

Γράφεις λόγια, λόγια, λόγια αλλά την λύση αποφεύγεις να την γράψεις. Stop beating about the bush, όπως λένε οι Εγγλέζοι, και έλα στην ουσία ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ.

black_char έγραψε: Μα έτσι μας έδωσε τις απαντήσεις και ο διδάσκων σε ένα υπερβολικά παρόμοιο παράδειγμα (με χρήση της σχέσης ισοδυναμίας), βέβαια ίσως και να νόμιζε ότι μερικά από αυτά που παρέλειψε εννοούνται.. τι να πω..

Μην τα ρίχνεις στον διδάσκοντα, για τον απλούστατο λόγο ότι όταν γράφει κάτι στον πίνακα, μιλάει κιόλας. Αυτή η ομιλία, που προφανώς λείπει από το τετράδιό σου, μπορεί να είναι η πεμπτουσία του θέματος.

Για να συνοψίσω, γράψε την απόδειξη σαν να την δίδασκες σε τρίτο άτομο, και άσε τις υπεκφυγές και την μεταφορά της ευθύνης.
Απλά τα πράγματα και ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΗ η άσκηση. Πολλή φασαρία για το τίποτα.

black_char · #12

Μάλιστα, αν έβρισκα την λύση σε μια κανονική μορφή όπως εννοείται κι εσείς, θα την έγραφα και στο θέμα (δεν θα την κρατούσα μόνο για τον εαυτό μου

), πάντως το μόνο που ήθελα εγώ ήταν να βρω μόνος μου τα

,

και τα βρήκα χάρης την βοήθεια σας φυσικά (γιατί την λύση την είχα και έτοιμη στο τετράδιο).

Με όλο τον σεβασμό βέβαια και ζητώ συγνώμη, αν έφτασα το θέμα πολύ μακριά ή αν βγήκα εκτός θέματος..

#13

Μάλλον δεν έγινα κατανοητός. Κάνω άλλη μία προσπάθεια:

Mihalis_Lambrou έγραψε:Γράφεις λόγια, λόγια, λόγια αλλά την λύση αποφεύγεις να την γράψεις. Stop beating about the bush, όπως λένε οι Εγγλέζοι, και έλα στην ουσία ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ.

Με ωθεί ο δάσκαλος μέσα μου, αλλά μεταφορά γνώσης με το τσιγκέλι δεν γίνεται.

black_char · #14

Αν μου έπεφτε αυτή η άσκηση στο διαγώνισμα (αυτή την στιγμή), αυτό θα έδινα σαν λύση..

$xRy\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(l-m)*x = (m-2) *y^{2}-y$

Ερώτηση: Να βρεθούν τα l , m έτσι ώστε η R να είναι σχέση ισοδυναμίας.

Απάντηση:

Εφόσον η

αποτελεί σχέση ισοδυναμίας, τότε πρέπει να ικανοποιεί και τις τρεις ιδιότητες: την ανακλαστική, την συμμετρική και την μεταβατική, άρα έχουμε:

η ανακλαστική:
$xRy\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} -x = y^{2} - y \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2} - y = x^{2} -x \quad\Longleftrightarrow\quad yRx$

τότε:
$xRy \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(l-m)*x = (m-2) *x^{2}-x$
$xRy \quad\Longleftrightarrow\quad (m-3)*x^{2}+(l-m+1)*x =0$

άρα: m = 3

και

η συμμετρική ισχύει ήδη, άρα η μεταβατική:
$xRy\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x = y^{2}-y$
$yRz \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}-y = z^{2}-z$
$x^{2}-x = z^{2}-z \quad\Longleftrightarrow\quad xRz$

αυτά, άν και με αυτά που μου είπατε, δεν περιμένω να είναι σωστά

#15

black_char έγραψε:Αν μου έπεφτε αυτή η άσκηση στο διαγώνισμα (αυτή την στιγμή), αυτό θα έδινα σαν λύση..

Αν και η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή, δυστυχώς η λύση είναι προβληματική και δείχνει ότι δεν έχεις κατανοήσει τις έννοιες.

Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου ποσοδείκτες, ενώ σε κάποια βήματα ΠΡΕΠΕΙ να χρησιμοποιήσεις καθολικό ποσοδείκτη. Δεν είναι μόνο για "διακοσμητικό" λόγο αλλά είναι ουσιαστικό στοιχείο σε κάποιο βήμα του συλλογισμού.

Επίσης, το πρώτο ουσιαστικό λάθος είναι στο βήμα:

black_char έγραψε: $xRy\quad\Longleftrightarrow\quad } {\color {red} x^{2} -x = y^{2} - y }$

Πουθενά στα προηγούμενα βήματα (δηλαδή σε όσα έχεις αποδείξει μέχρι τώρα) δεν προκύπτει ότι η

είναι αυτή που γράφεις. Είναι αυθαίτερο το βήμα. Προφανώς το αντιγράφεις από κάπου και δεν κατανοείς πώς προκύπτει.

black_char έγραψε:
$xRy \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(l-m)*x = {\color {red} (m-2) *x^{2}-x}$

Εδώ χάθηκε το

στο δεξί μέλος. Το έβαλες

(αυθαίρετα) και το χρησιμοποίησες στο επόμενο βήμα. Άρα έχουμε πρόβλημα.

black_char έγραψε: η συμμετρική ισχύει ήδη

Εδώ έχουμε σοβαρό κενό στον συλλογισμό που δείχνει ότι δεν κατανόησες ποιο ακριβώς είναι το ζητούμενο. Η συμμετρική ιδιότητα είναι μία συνεπαγωγή. Έχεις ως υπόθεση το xRy

και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε (με αυτό ως υπόθεση) ότι ισχύει η yRx

. Τίποτα από αυτά δεν έχεις κάνει. Ακριβέστερα, δεν έχει καταγράψει ποιο είναι το αποδεικτέο. Το συγκεκριμένο είναι ιδιαίτερα εύκολο να αποδειχθεί, αλλά είναι απαραίτητο (σε διαγώνισμα) να καταγραφεί έστω αν στο τέλος πεις ότι "η απόδειξη είναι άμεση". Πρέπει όμως να φαίνεται ποια είναι η αποδεικτέα συνεπαγωγή.

black_char έγραψε:αυτά, άν και με αυτά που μου είπατε, δεν περιμένω να είναι σωστά

Όπως ανέφερα, η λύση είναι προβληματική. Δυστυχώς (λόγω της απλότητας της άσκησης) δεν θα έπαιρνε καθόλου μονάδες σε διαγώνισμα καθώς λείπουν τα βήματα τα οποία δείχνουν ότι κατανόησες τι είναι η σχέση ισοδυναμίας (το οποίο είναι το ζητούμενο της άσκησης).

Ελπίζω να ξεκαθάρισα την κατάσταση. Ίσως επιστρέψω με σωστή λύση, αλλά για την ώρα έχω φόρτο εργασίας και έχασα άσκοπα πάρα πολύ χρόνο.

black_char · #16

Mihalis_Lambrou έγραψε:αλλά για την ώρα έχω φόρτο εργασίας και έχασα άσκοπα πάρα πολύ χρόνο.

Μάλιστα, και πάλι ευχαριστώ που ασχοληθήκατε..
Υποθέτω δεν μένει τίποτα άλλο πάρα να διαβάσω και να εξασκηθώ περισσότερο..

#17

Πριν γράψω λύση θα ήθελα να μου έλυνες την απορία: Γιατί κάθε τόσο βάζεις δύο τελείες στο τέλος των προτάσεων; Δεν αρκεί η μία; Είναι της μόδας αυτή η πρακτική αλλά έχασα επεισόδια και μόλις τώρα το αντιλήφθηκα ή πρόκειται για ελαφρά τη καρδία βεβήλωση της υπέροχης γλώσσας μας; Ιδού η απορία!

black_char έγραψε:Η άσκηση έχει ως εξής..

black_char έγραψε: να το λύσω..

black_char έγραψε: ότι υπάρχει..

black_char έγραψε: εκτός θέματος..

black_char έγραψε: σαν λύση..

black_char έγραψε: που ασχοληθήκατε..

black_char έγραψε: εξασκηθώ περισσότερο..

Στο θέμα μας. Αντιγράφω την εκφώνηση:

Άσκηση: Να βρεθούν τα ${\color {blue}l}$ , ${\color {blue} m}$ έτσι ώστε η ${\color {blue}R }$ να είναι σχέση ισοδυναμίας, όπου
${\color {blue} xRy\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(l-m)x = (m-2) y^{2}-y}$

(πρέπει ακόμη να προσθέσουμε ότι όλοι οι εμφανιζόμενοι αριθμοί είναι πραγματικοί, ή άλλα ισοδύναμα.)

Λύση. Για να ισχύει η ανακλαστική ιδιότητα πρέπει για κάθε $x\in \mathbb R$ να ισχύει xRx

, δηλαδή (για κάθε

)

$x^{2}+(l-m)x = (m-2)x ^{2}-x$

Αφού έχουμε ισότητα πολυωνύμων για άπειρα

έπεται ότι οι συντελεστές τους είναι ίσοι, δηλαδή 1=m-2

και

. Έπεται ότι l=2, m=3

και η

γίνεται

$xRy \Leftrightarrow x^{2}- x = y^{2}-y$

Εύκολα τώρα δείχνουμε ότι η

είναι σχέση ισοδυναμίας. Δεν έχουμε παρά να ελέγξουμε ότι ισχύουν η συμμετρική και η μεταβατική ιδιότητα, δηλαδή οι συνεπαγωγές

$xRy \Rightarrow yRx$ και $((xRy)\wedge (yRz)) \Rightarrow xRz$ .

Και οι δύο είναι άμεσες. Π.χ. η πρώτη έπεται από τα

$(xRy )\Rightarrow (x^{2}- x = y^{2}-y) \Rightarrow (y^{2}-y= x^{2}- x) \Rightarrow (yRx)$ και ανάλογα η μεταβατική. Τελειώσαμε.

Τόόόόόσο απλά. Και πολλά λόγια έγραψα. Θα μπορούσα με τα μισά.

Σχέση Ισοδυναμίας

Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Re: Σχέση Ισοδυναμίας

Μέλη σε σύνδεση