Ελάχιστο για ... Θαλή

KARKAR · #1

: Μέγιστο για Θαλή.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 1137 φορές

Από σημείο

το οποίο κινείται στο εσωτερικό της πλευράς

, ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$

πλευράς

, φέρουμε $DE \parallel BC$ και ονομάζουμε

το συμμετρικό του

, ως προς

.

Η

τέμνει τη βάση

στο σημείο

. Αναζητήστε το ελάχιστο του

#2

KARKAR έγραψε:Μέγιστο για Θαλή.pngΑπό σημείο το οποίο κινείται στο εσωτερικό της πλευράς , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$

πλευράς , φέρουμε $DE \parallel BC$ και ονομάζουμε το συμμετρικό του , ως προς .

Η τέμνει τη βάση στο σημείο . Αναζητήστε το ελάχιστο του

: Ελάχιστο για...Θαλή.png (9.07 KiB) Προβλήθηκε 1098 φορές

Αν

η πλευρά του ισοπλεύρου, EH||AB

και

, τότε

και $\displaystyle{BM = \frac{{a - x}}{2}}$ .

Από νόμο συνημιτόνων στο BDM

: $\displaystyle{D{M^2} = {x^2} + \frac{{{{(a - x)}^2}}}{4} - 2x\frac{{a - x}}{2}\cos {60^0} \Leftrightarrow D{M^2} = \frac{{7{x^2} - 4ax + {a^2}}}{4}}$

που παρουσιάζει ελάχιστο για $\boxed{x = \frac{{2a}}{7}}$ και είναι $\boxed{D{M_{\min }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε:Μέγιστο για Θαλή.pngΑπό σημείο το οποίο κινείται στο εσωτερικό της πλευράς , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$

πλευράς , φέρουμε $DE \parallel BC$ και ονομάζουμε το συμμετρικό του , ως προς .

Η τέμνει τη βάση στο σημείο . Αναζητήστε το ελάχιστο του

Εστω ότι

τότε τα τρίγωνα SMB=MLE

είναι ίσα και $BM=ML=\dfrac{a-y}{2},$ . Στο τρίγωνο $BMD, x^{2}=y^{2}+(\dfrac{a-y}{2})^{2}-\dfrac{y(a-y)}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\sqrt{7y^{2}-4ay+a^{2}}=f(y)$
με παραγώγους κατά τα γνωστά υπάρχει ελάχιστο για $y=\dfrac{2a}{7}$ με ελάχιστη τιμή του , $x=\dfrac{a}{2}\sqrt{\dfrac{3}{7}}$

Γιάννης

Βλέπω την ίδια λύση με το Γιώργο την αφήνω για τον κόπο....αν υπάρχει Γεωμετρική λύση χωρίς συνάρτηση θάθελα να την δώ .....

#4

KARKAR έγραψε:Μέγιστο για Θαλή.pngΑπό σημείο το οποίο κινείται στο εσωτερικό της πλευράς , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$

πλευράς , φέρουμε $DE \parallel BC$ και ονομάζουμε το συμμετρικό του , ως προς .

Η τέμνει τη βάση στο σημείο . Αναζητήστε το ελάχιστο του

Καλησπέρα στου φίλους .

Επιλέγουμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή

το μέσο του

και μοναδιαίο διάνυσμα $\overrightarrow i = \overrightarrow {OC}$ . Αν $D(k,m)\,\,\,\mu \varepsilon \,\, - 1 < k < 0$ θα ισχύουν :

$A(0,\sqrt 3 )\,,\,\,B( - 1,0)\,\,,\,\,C(1,0)\,\,,\,E( - k,m)$ . Επειδή το

διατρέχει το εσωτερικό του

θα επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας

$AB \to \dfrac{x}{{ - 1}} + \dfrac{y}{{\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \boxed{m = \sqrt 3 (k + 1)}\,\,(1)$ .

Επειδή SB = BD

,

και επειδή τα σημεία S,M,E

είναι σε ευθεία θα έχουμε : M( - k - 1,0)

.

: Ελάχιστο για Θαλή_1.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 1081 φορές

Λόγω της

$\overrightarrow {MD} = (2k + 1,\sqrt 3 (k + 1))$ και έτσι :

$|\overrightarrow {MD} | = f(k) = \sqrt {{{(2k + 1)}^2} + 3{{(k + 1)}^2}}$ που παρουσιάζει ελάχιστο για $k = - \dfrac{5}{7}$ το

$\boxed{M{D_{\min }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}}$ Η γενίκευση απλή .

Φιλικά Νίκος

Al.Koutsouridis · #5

KARKAR έγραψε:Μέγιστο για Θαλή.pngΑπό σημείο το οποίο κινείται στο εσωτερικό της πλευράς , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$

πλευράς , φέρουμε $DE \parallel BC$ και ονομάζουμε το συμμετρικό του , ως προς .

Η τέμνει τη βάση στο σημείο . Αναζητήστε το ελάχιστο του

Καλησπέρα,

Μια προσπάθεια γενικότερα στην περίπτωση που το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

: elaxisto_gia_thalh.png (67.01 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

Έστω

το σημείο τομής του ύψους

με την

. Τότε εφόσον

το μέσο της

και

θα είναι

και άρα το BMHD

είναι παραλληλόγραμμο. Έστω

το σημείο τομής των διαγωνιών του όπου προφανώς και διχοτομούνται. Τότε τα σημεία T, N, L

είναι συνευθειακά, όπου T, L

τα μέσα των

και

αντίστοιχα. Επίσης TL || AZ

.

Αν τώρα

το σημείο τομής της

με την

τότε εύκολα παρατηρούμε, εφόσον οι διαγώνιοι του διχοτομούνται, οτι το DKZM

είναι παραλληλόγραμμο.

Προεκτύνουμε την

προς την πλευρά του

και θεωρούμε σημείο

αυτής έτσι ώστε BQ = BT = AB/2

και ας είναι

το σημείο τομής των SM, QL

.

Σε αυτό το σημείο θα κάνουμε χρήση ως λήμμα την παρακάτω άσκηση

Λήμμα: Τα σημεία $A_{1} , B_{1}$ των πλευρών τριγώνου διαιρούν της πλευρές σε λόγους $\dfrac{BA_{1}}{A_{1}C} = \dfrac{1}{p}$ και $\dfrac{CB_{1}}{B_{1}A} = \dfrac{q}{1}$ αντίστοιχα. Τότε $\dfrac{AO}{OA_{1}}= \dfrac{1+p}{q}$ , όπου το σημείο τομής των $AA_{1}, BB_{1}$ .

Εφαρμόζοντας το παραπάνω λήμμα στο πρόβλημα μας στο τρίγωνο BQM

και τα σημεία S, L

βρίσκουμε

$\dfrac{SP}{PM} = \dfrac{\dfrac{BS}{SQ}+1}{\dfrac{BL}{LM}} =\dfrac{\dfrac{BS+SQ}{SQ}}{\dfrac{BL}{LM}}= \dfrac{ \dfrac{BQ}{SQ} }{ \dfrac{BL}{LM} } = \dfrac{ \dfrac{BT}{TD}}{ \dfrac{BL}{LM}} = \dfrac{ \dfrac{BT}{TD} }{ \dfrac{BL}{DK} }$ όμως

$\dfrac{BT}{TD} = \dfrac{BL}{DK}$ αφού τα τρίγωνα TDK , TBL

είναι όμοια. Επομένως SP = PM

και το

είναι το μέσο του

. 'Η αλλιώς, δείξαμε ότι το μέσο

του

βρίσκεται επί σταθερής ευθείας

.

Εν τέλη έχουμε BP || = DM /2

οπότε το τμήμα

θα ελαχιστοποιείται όταν θα ελαχιστοποιηθεί και το

. Το

όμως γίνεται ελάχιστο όταν $BP \perp QL$ που είναι και η συνθήκη ελαχιστοποίησης. Από εδώ και πέρα εργαζόμαστε ανά περίπτωση...

Υγ1. Το λήμμα είναι η άσκηση 1.3 από την επιπεδομετρία του Πρασάλοβ.

Υγ2. Ως αναφορά τον τρόπο σκέψης, αυτό που προσπάθησα να κάνω είναι να λύσω καθαρά γεωμετρικά το πρόβλημα και η αλήθεια ειναι ότι δεν μου έβγαινε αρχικά. Παρατήρησα ότι το μέσο του DM κινείται σε σταθερη ευθεία, εύκολο να το δούμε αυτό. Προαπαθούσα να "μεταφέρω" το

κάπου αλλού στο σχήμα ώστε να μπορώ να το συγκρίνω με κάτι σταθερό. Το μέσο του

παρ' όλο που κινούταν σε σταθερή ευθεία δεν έδινε κάποια βολική σύγκριση. Έτσι αναζήτησα κάποιο άλλο μέσο που ενδεχομένος να κινείται σε ευθεία και να σχετίζεται με το

. Σε αυτό το σημείο παίζοντας με το geogebra παρατήρησα ότι και το μέσο του SM κινείται σε ευθεία και μαλιστα φαινόταν σταθερή. Προσπάθησα μετά να αποδείξω αυτην την ικασία. Αρχικά εφαρμόζoντας κάπως το θεώρημα του Θαλή αλλά δε μου έβγαιναν οι σχεσεις εκείνη την στιγμή. Τότε θυμήθηκα την άσκηση 1.3 στον Prasalov και μαζί με τις ομοιότητες των τριγώνων που προαναφέρθηκαν με έβγαλαν από το αδιέξοδο και οδήγησαν στην λύση.

KARKAR · #6

: Eλάχιστο Θαλή.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

Επειδή το

είναι επίσης ισόπλευρο , είναι $BM=\dfrac{a-x}{2}$ κ.λ.π.

Παρακολουθήσαμε την εκπληκτική -αλλά κάπως δαιδαλώδη ! - προσπάθεια του Αλέξανδρου για την

εξεύρεση μιας συνθήκης ελαχιστοποίησης . Υποθέτω ότι η προφανής απάντηση , στην περίπτωση

του ισοσκελούς , θα ήταν αυτή με το νόμο συνημιτόνων ( αφού το τρίγωνο θα ήταν "γνωστό" )

Al.Koutsouridis · #7

Θα ήθελα απλά να σημειώσω ότι στην προηγούμενη ανάρτησή μου, παρέθεσα ως υστερόγραφο και την παραπομπή για το λήμμα που αναφέρθηκε στην λύση.

KARKAR · #8

Το λήμμα μπορεί να αποφευχθεί , αν χρησιμοποιηθεί το θ. Μενελάου .

Ελάχιστο για ... Θαλή

Ελάχιστο για ... Θαλή

Re: Ελάχιστο για ... Θαλή

Re: Ελάχιστο για ... Θαλή

Re: Ελάχιστο για ... Θαλή

Re: Ελάχιστο για ... Θαλή

Re: Ελάχιστο για ... Θαλή

Re: Ελάχιστο για ... Θαλή

Re: Ελάχιστο για ... Θαλή

Μέλη σε σύνδεση