mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Πρώτος και διαιρετότητα

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=55763

Σελίδα 1 από 1

Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 29, 2016 7:59 pm
από socrates
Έστω ο θετικός ακέραιος n και ο (θετικός) πρώτος p ο οποίος δεν διαιρεί τον αριθμό (3n)! αλλά διαιρεί τον αριθμό (3n + 1)! + (3n + 2)!.
Να δείξετε ότι 3 \mid p - 1.

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 29, 2016 11:07 pm
από JimNt.
socrates έγραψε:Έστω ο θετικός ακέραιος n και ο (θετικός) πρώτος p ο οποίος δεν διαιρεί τον αριθμό (3n)! αλλά διαιρεί τον αριθμό (3n + 1)! + (3n + 2)!.
Να δείξετε ότι 3 \mid p - 1.
Είναι (3n + 1)! + (3n + 2)! = (3n+1)!(3n+2+1) = (3n+1)!(3n+3). Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!. Όμως (3n+1)! = (3n)!(3n+1) και από την εκφώνηση (αφού p δεν διαιρεί (3n)!) πρέπει p|(3n+1). Επομένως, αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1)έπεται πως έχει την μορφή (3k+1). Επομένως, είναι p-1 = 3k, και το ζητούμενο έπεται.

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 29, 2016 11:23 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Επομένως, αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1)έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)

Για ξανακοίταξε το αυτό.Βρες γιατί δεν ισχύει.
Μετά αν κοιτάξεις πιο προσεκτικά την απόδειξη σου θα λύσεις την άσκηση.

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 29, 2016 11:27 pm
από Mihalis_Lambrou
JimNt. έγραψε: αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1) έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα 5|10=3\cdot 3 +1 αλλά ο 5 δεν είναι της μορφής 3k+1.

Επίσης το σημείο
JimNt. έγραψε: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!.
Και αυτό το σημείο θέλει διευκρίνηση. Τυχαίνει να είναι σωστό, αλλά θέλει δικαιολόγηση (ΔΕΝ είναι άμεσο, όπως μάλλον νομίζεις).

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος, αλλά το αφήνω διότι...

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 29, 2016 11:49 pm
από JimNt.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
JimNt. έγραψε: αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1) έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα 5|10=3\cdot 3 +1 αλλά ο 5 δεν είναι της μορφής 3k+1.

Επίσης το σημείο
JimNt. έγραψε: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!.
Και αυτό το σημείο θέλει διευκρίνηση. Τυχαίνει να είναι σωστό, αλλά θέλει δικαιολόγηση (ΔΕΝ είναι άμεσο, όπως μάλλον νομίζεις).

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος, αλλά το αφήνω διότι...
Για το πρώτη παρατήρηση έχετε προφανέστατα δίκιο. Θα επανέλθω αύριο με λύση. Για την δεύτερη:
Ο p δεν μπορείνα είναι 3, αφού ο p δεν διαιρεί το (3n)!, που έχει για κάθε τιμή του n πολλαπλάσια του 3. Επιπλέον, είναι (3n+3)=3(n+1) και άρα ο p προκύπτει ότι διαιρεί το (3n+1)(n+1), όμως αφού (n+1) < 3n και αφού το p δεν διαιρεί το (3n)!, πρέπει p|(3n+1) . Επανέρχομαι αύριο.(Στο παράδειγμα σας είναι p|(3n)!, που αντικρούει την εκφώνηση, μάλλον το κάνατε σκόπιμα για να με ωθήσετε στην λύση. Πήρα μια ιδέα.).

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 29, 2016 11:56 pm
από JimNt.
JimNt. έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
JimNt. έγραψε: αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1) έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα 5|10=3\cdot 3 +1 αλλά ο 5 δεν είναι της μορφής 3k+1.

Επίσης το σημείο
JimNt. έγραψε: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!.
Και αυτό το σημείο θέλει διευκρίνηση. Τυχαίνει να είναι σωστό, αλλά θέλει δικαιολόγηση (ΔΕΝ είναι άμεσο, όπως μάλλον νομίζεις).

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος, αλλά το αφήνω διότι...
Για το πρώτη παρατήρηση έχετε προφανέστατα δίκιο. Θα επανέλθω αύριο με λύση. Για την δεύτερη:
Ο p δεν μπορείνα είναι 3, αφού ο p δεν διαιρεί το (3n)!, που έχει για κάθε τιμή του n πολλαπλάσια του 3. Επιπλέον, είναι (3n+3)=3(n+1) και άρα ο p προκύπτει ότι διαιρεί το (3n+1)(n+1), όμως αφού (n+1) < 3n και αφού το p δεν διαιρεί το (3n)!, πρέπει p|(3n+1) . Επανέρχομαι αύριο.(Στο παράδειγμα σας είναι p|(3n)!, που αντικρούει την εκφώνηση, μάλλον το κάνατε σκόπιμα για να με ωθήσετε στην λύση. Πήρα μια ιδέα.).
Επιπλέον, αν και αργά, κατάλαβα ότι οι παράμετροι τις εκφώνησης δεν ισχύουν για όλες τις τιμές του n. Είναι p = 3n+1. Για n=4,6,10,12,14,16,20.... Δεν το τεκμηρίωσα σωστά. Αρκεί η δικαιολόγηηση του Ορέστη. :oops:

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 29, 2016 11:58 pm
από Ορέστης Λιγνός
Καλησπέρα!
Όπως και ο Jim.Nt, p/3n+1.
Ισχύει ότι p δεν διαιρεί το (3n)!, οπότε p >3n (αν p \leq 3n, τότε ο p θα περιλαμβάνεται στους παράγοντες του (3n)!, άτοπο).
Ακόμη, p/3n+1 \Leftrightarrow p \leq 3n+1, και σε συνδυασμό με την p>3n, έχουμε p=3n+1,δηλαδή p-1=3n, από όπου το ζητούμενο είναι άμεσο.

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 30, 2016 12:04 am
από JimNt.
JimNt. έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
JimNt. έγραψε: αφού p πρώτος και διαιρεί (3n+1) έπεται πως έχει την μορφή (3k+1)
Για ξαναδές το αυτό. Για παράδειγμα 5|10=3\cdot 3 +1 αλλά ο 5 δεν είναι της μορφής 3k+1.

Επίσης το σημείο
JimNt. έγραψε: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι o πρώτος p δεν μπορεί να είναι 3. Επομένως, πρέπειp|(3n+1)!.
Και αυτό το σημείο θέλει διευκρίνηση. Τυχαίνει να είναι σωστό, αλλά θέλει δικαιολόγηση (ΔΕΝ είναι άμεσο, όπως μάλλον νομίζεις).

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος, αλλά το αφήνω διότι...
Για το πρώτη παρατήρηση έχετε προφανέστατα δίκιο. Θα επανέλθω αύριο με λύση. Για την δεύτερη:
Ο p δεν μπορείνα είναι 3, αφού ο p δεν διαιρεί το (3n)!, που έχει για κάθε τιμή του n πολλαπλάσια του 3. Επιπλέον, είναι (3n+3)=3(n+1) και άρα ο p προκύπτει ότι διαιρεί το (3n+1)(n+1), όμως αφού (n+1) < 3n και αφού το p δεν διαιρεί το (3n)!, πρέπει p|(3n+1) . Επανέρχομαι αύριο.(Στο παράδειγμα σας είναι p|(3n)!, που αντικρούει την εκφώνηση, μάλλον το κάνατε σκόπιμα για να με ωθήσετε στην λύση. Πήρα μια ιδέα.).
Επιπλέον, αν και αργά, κατάλαβα ότι οι παράμετροι τις εκφώνησης δεν ισχύουν για όλες τις τιμές του n. Είναι p = 3n+1. Για n=4,6,10,12,14,16,20.... Δεν το τεκμηρίωσα σωστά. Αρκεί η δικαιολόγηηση του Ορέστη. :oops:

Re: Πρώτος και διαιρετότητα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 30, 2016 12:06 am
από JimNt.
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Καλησπέρα!
Όπως και ο Jim.Nt, p/3n+1.
Ισχύει ότι p δεν διαιρεί το (3n)!, οπότε p >3n (αν p \leq 3n, τότε ο p θα περιλαμβάνεται στους παράγοντες του (3n)!, άτοπο).
Ακόμη, p/3n+1 \Leftrightarrow p \leq 3n+1, και σε συνδυασμό με την p>3n, έχουμε p=3n+1,δηλαδή p-1=3n, από όπου το ζητούμενο είναι άμεσο.
Πάρε n = 8. ;)
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Σελίδα 1 από 1

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com