Άθροισμα 180

[nsmavrogiannis]

Ξεκινάμε από μία κορυφή τριγώνου και διανύουμε την περίμετρο του κατά την θετική φορά καταλήγοντας στο σημείο που ξεκινήσαμε.
Έχουμε κάνει μια πλήρη περιστροφή δηλ. . Στρίψαμε 3 φορές κατά τις εξωτερικές γωνίες του τριγώνου. Άρα το άθροισμα των τριών εξωτερικών γωνιών είναι . Άλλα κάθε εξωτερική είναι παραπλήρωμα της αντίστοιχης εσωτερικής. Από αυτό βρίσκουμε ότι το άθροισμα των εωτερικών γωνιών κάθε τριγώνου είναι .

180.png (45.77 KiB) Προβλήθηκε 2885 φορές

Τα σχόλια σας.
Μαυρογιάννης

[rek2]

Καλή μου φαίνεται! Γενικεύεται για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου.

Βέβαια, φαίνεται να εμπεριέχει περισσότερη διαίσθηση και λιγότερη τεκμηρίωση.

[Mihalis_Lambrou]

Κώστα, αλλού είναι η ουσία.

Δεν αποκαλύπτω το μυστικό γιατί το ξέρω ήδη. Δίνω μόνο νύξη με απόκρυψη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δίνει την εντύπωση ότι έδειξε πως το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι χωρίς να έχει γίνει χρήση του αξιώματος των παραλλήλων.

[nsmavrogiannis]

Γεια σας.
Η απόδειξη φαινομενικά είναι καλή. Ωστόσο λείπει κάποιο βήμα. Εκείνο που θα εξηγεί γιατί όντως οι τρεις γωνίες
στροφής όντως έχουν άθροισμα . Για να γίνει η άθροιση πρέπει όλες να μεταφερθούν κάπου ώστε να έχουν
κοινή κορυφή. Αυτό απαιτεί με τον ένα ή τον άλλο τρόπο το Ευκλείδειο αίτημα όπως επεσήμανε ο Μιχάλης.
Το θέμα το βρήκα μέσω παραπομπής στο άρθρο της Celia Hoyles:
The Curricular Shaping of Students' Approaches to Proof
(For the Learning of Mathematics 17, I February 1997).
Θεωρώ βέβαιο ότι υπάρχει και αλλού.

Μαυρογιάννης

[Mihalis_Lambrou]

Θεωρώ βέβαιο ότι υπάρχει και αλλού.

Νίκο, σίγουρα. Το θυμάμαι από τα φοιτητικά μου χρόνια, αλλά άντε βρες το!

[nsmavrogiannis]

Θεωρώ βέβαιο ότι υπάρχει και αλλού.

Νίκο, σίγουρα. Το θυμάμαι από τα φοιτητικά μου χρόνια, αλλά άντε βρες το!

ὁ ζητῶν εὑρίσκει

Ετοιμάζοντας κάποιο επιμορφωτικό υλικό για συναδέλφους συναντήθηκα πάλι με το παραπάνω. Ψάχνοντας το βρήκα ως άσκηση στον 1ο τόμο του "A Survey of Geometry" του Eves (σελ. 336) που με βοήθησε να βγάλω άκρη. Το αποδίδει στον Thibault. Μετά στα "Στοιχεία" του Heath (τόμος 1, σελ. 321) βρήκα και πλήρη παραπομπή:
Bernhard Friedrich Thibaut Grundriss Der Reinen Mathematik Zum Gebrauch Bei Academischen Vorlesungen (1809)
Το έργο σε διάφορες εκδόσεις μπορεί να βρεθεί εδώ και εκεί.

[Demetres]

Δείτε επίσης και εδώ.

[george visvikis]

Δείτε και αυτό

[nsmavrogiannis]

Δείτε και αυτό

Γιώργο ευχαριστούμε πολύ.
Αν και ήμουν στην Διημερίδα και παρακολούθησα την ενδιαφέρουσα ομιλία σου για κάποιο ανεξήγητο λόγο το συγκεκριμένο δεν το πρόσεξα. Αν το είχα πεοσέξει θα γλύτωνα από αρκετό ψάξιμο.