Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Συντονιστής: exdx
Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Ας συγκεντρώσουμε εδώ 20 ασκήσεις σε σχολικό επίπεδο, από το κεφάλαιο των Προόδων (Αριθμητικής-Γεωμετρικής), να τις λύσουμε αναλυτικά,
να τις γράψουμε σε αρχείο word (Σπύρο θα χρειαστούμε τη βοήθειά σου -γιατί έχεις ταλέντο !!!) και να τις τοποθετήσουμε στα αρχείο της λέσχης για οποιαδήποτε χρήση.
Ξεκινάω προτείνοντας 5 ασκήσεις (θέλω να πιστεύω ότι δεν έχω κάνει λάθη ...στην αντιγραφή)
Άσκηση-1-
Αν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω ,να δείξετε ότι
... Άσκηση-2-... ...νέα...
Μεταξύ των διαδοχικών όρων της πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου παρεμβάλλουμε κ αριθμητικούς ενδιάμεσους όρους.
Να προσδιορίσετε το άθροισμα όλων αυτών των αριθμητικών ενδιάμεσων όρων
Άσκηση-3-
Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς , ώστε αν οι αριθμοί είναι οι ρίζες του τριωνύμου
οι αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
Άσκηση-4-
την συμπληρώσαμε στη σελίδα -3-
Άσκηση-5-
Να προσδιοριστεί η αριθμητική πρόοδος με ν όρους,
αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων είναι το 34,το άθροισμα των τεσσάρων τελευταίων όρων είναι το 118 και το άθροισμα όλων των όρων είναι 209
να τις γράψουμε σε αρχείο word (Σπύρο θα χρειαστούμε τη βοήθειά σου -γιατί έχεις ταλέντο !!!) και να τις τοποθετήσουμε στα αρχείο της λέσχης για οποιαδήποτε χρήση.
Ξεκινάω προτείνοντας 5 ασκήσεις (θέλω να πιστεύω ότι δεν έχω κάνει λάθη ...στην αντιγραφή)
Άσκηση-1-
Αν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω ,να δείξετε ότι
... Άσκηση-2-... ...νέα...
Μεταξύ των διαδοχικών όρων της πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου παρεμβάλλουμε κ αριθμητικούς ενδιάμεσους όρους.
Να προσδιορίσετε το άθροισμα όλων αυτών των αριθμητικών ενδιάμεσων όρων
Άσκηση-3-
Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς , ώστε αν οι αριθμοί είναι οι ρίζες του τριωνύμου
οι αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
Άσκηση-4-
την συμπληρώσαμε στη σελίδα -3-
Άσκηση-5-
Να προσδιοριστεί η αριθμητική πρόοδος με ν όρους,
αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων είναι το 34,το άθροισμα των τεσσάρων τελευταίων όρων είναι το 118 και το άθροισμα όλων των όρων είναι 209
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Κυρ Φεβ 28, 2010 3:46 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Φωτεινή Καλδή
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6969
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Καλή η ιδέα της Φωτεινής, ας συνδράμω κι εγώ με μια άσκηση...
ΑΣΚΗΣΗ 6
Να υπολογίσετε το αθροισμα:
ΑΣΚΗΣΗ 6
Να υπολογίσετε το αθροισμα:
Χρήστος Κυριαζής
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
... ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν...
.. Ασκηση-7-
Να προσδιορίσετε τις τιμές του ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερις πραγματικές άνισες ρίζες που να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου
.. Ασκηση-7-
Να προσδιορίσετε τις τιμές του ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερις πραγματικές άνισες ρίζες που να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου
Φωτεινή Καλδή
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Έστω ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι τέσσερις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Θα έχουν τότε τη μορφή, έστωΦωτεινή έγραψε:... ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν...
.. Ασκηση-7-
Να προσδιορίσετε τις τιμές του ώστε η εξίσωση να έχει τέσσερις πραγματικές άνισες ρίζες που να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου
.
Από τους τύπους του Μπαρμπα - Vieta θα είναι
, άρα
.
Ακόμα (1).
Επίσης
.
Για τις παραπάνω τιμές του , οι ρίζες τις δοθείσας είναι πράγματι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, άρα αυτές οι τιμές του είναι οι ζητούμενες.
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1276
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...Φωτεινή έγραψε: ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν...
Δίνεται η εξίσωση: .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253
και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253
και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.
Μαργαρίτα Βαρελά
- Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Πολύ καλές οι ασκήσεις και τα αρχεία Μαργαρίτα. Όσο για τις ασκήσεις κάποιοι μας ταξίδεψαν σε ΑΣΕΠ καταστάσεις και κάποιοι άλλοι σε διαγωνισμούς Πανελληνίων θεμάτων το 80 και μετά!
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Μαργαρίτα... σε ευχαριστούμε πολύ !!!margavare έγραψε:Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253
και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.
Φωτεινή Καλδή
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
m.pαpαgrigorakis έγραψε: Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...
Άσκηση-8-
Δίνεται η εξίσωση: .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος
Φωτεινή Καλδή
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
ακόμα μία με Αριθμητική ...και μετά φεύγουμε ... για Γεωμετρική
Άσκηση-9-
Αν είναι αντίστοιχα τα αθροίσματα των πρώτων όρων μιας Αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι
Άσκηση-9-
Αν είναι αντίστοιχα τα αθροίσματα των πρώτων όρων μιας Αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι
Φωτεινή Καλδή
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Λυση της Ασκησης 1
Εστω ω η διαφορα της προοδου και ο γενικος ορος της προοδου.Τοτε ο πρωτος ορος του αθροισματος γραφεται :
Ομοια εχουμε οτι :
Αθροιζοντας τελικα παιρνουμε οτι :
Εστω ω η διαφορα της προοδου και ο γενικος ορος της προοδου.Τοτε ο πρωτος ορος του αθροισματος γραφεται :
Ομοια εχουμε οτι :
Αθροιζοντας τελικα παιρνουμε οτι :
"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Jeremy Bentham
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Την έσβησα αφού με πρόλαβε ο papel να μην την έχουμε δύο φορές λυμένη
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5310
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Μία λύση για την ωραία άσκηση (5)
(1)
(2)
Προσθέτουμε τις (1), (2): (3)
Είναι: άρα, λόγω της (3): ν = 11
Οπότε, από τη (2) έχουμε:
Από το σύστημα: έχουμε ότι:
Γιώργος Ρίζος
Στα περισσότερα Σχολεία τα τελευταία χρόνια "θυσιάζεται" το κεφάλαιο των Προόδων στο βωμό του χρόνου ή είναι η ιδέα μου;
Έστω ω η διαφορά της Αριθμητικής Προόδου με ν όρους.Φωτεινή έγραψε: Άσκηση-5-
Να προσδιοριστεί η αριθμητική πρόοδος με ν όρους,
αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων είναι το 34,το άθροισμα των τεσσάρων τελευταίων όρων είναι το 118 και το άθροισμα όλων των όρων είναι 209
(1)
(2)
Προσθέτουμε τις (1), (2): (3)
Είναι: άρα, λόγω της (3): ν = 11
Οπότε, από τη (2) έχουμε:
Από το σύστημα: έχουμε ότι:
Γιώργος Ρίζος
Στα περισσότερα Σχολεία τα τελευταία χρόνια "θυσιάζεται" το κεφάλαιο των Προόδων στο βωμό του χρόνου ή είναι η ιδέα μου;
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1276
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Mαργαρίτα σε ευχαριστούμε πάρα πολύ.margavare έγραψε:Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253
και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.
Εξαιρετική δουλειά, που τη μοιράζεσαι μαζί μας!!!
Να είσαι πάντα καλά
Μίλτος
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1276
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
- Τοποθεσία: Χανιά
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Η λύσηm.pαpαgrigorakis έγραψε: Άσκηση 8
Δίνεται η εξίσωση: .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Α) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται
ή
Άρα οι ρίζες της αρχικής είναι όπου και είναι οι ρίζες της
. Ετσι
επομένως οι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ανεξάρτητα από την τιμή του .
Β) Αφού οι
είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, θα είναι
ή από όπου βρίσκουμε ότι ή
Γ) Για η αρχική γίνεται άρα
Για έχουμε άρα
Μίλτος
- Χρήστος Λαζαρίδης
- Δημοσιεύσεις: 656
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
- Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Πολύ καλή Χρήστο.chris_gatos έγραψε:Καλή η ιδέα της Φωτεινής, ας συνδράμω κι εγώ με μια άσκηση...
ΑΣΚΗΣΗ 6
Να υπολογίσετε το αθροισμα:
Το άθροισμα γράφεται:
Φιλικά Χρήστος
Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Άσκηση 10
Δίνεται η ακολουθία με όρους 2,3,5,9,17,33,....
ι)Να αποδείξετε ότι η ακολουθία με γενικό όρο είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε το νιοστό της όρο ως συνάρτηση του ν.
ιι)Να υπολογίσετε το γενικό όρο ως συνάρτηση του ν.
Δίνεται η ακολουθία με όρους 2,3,5,9,17,33,....
ι)Να αποδείξετε ότι η ακολουθία με γενικό όρο είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε το νιοστό της όρο ως συνάρτηση του ν.
ιι)Να υπολογίσετε το γενικό όρο ως συνάρτηση του ν.
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Ασκηση 9
Αν α1 ο πρώτος όρος της προόδου και ω η διαφορά τότε
Αν α1 ο πρώτος όρος της προόδου και ω η διαφορά τότε
Γιάννης
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5310
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Κάποιες ξεχάστηκαν. Ας δώσουμε λύσεις και σ' αυτές:
Από τύπους Vieta (2), (3)
Από (1), (2):
• Αν b = 0, τότε άρα και η εξίσωση γράφεται: , οπότε είναι.
Αν , η πρόοδος είναι:, άρα .
Ομοίως, αν , η πρόοδος γράφεται: άρα .
• Αν και ω η διαφορά της προόδου, τότε
Η (3) γράφεται:
Άρα , (όπως παραπάνω)
Γιώργος Ρίζος
Υ.Γ. (1)Ευχαριστούμε την Μαργαρίτα για την προσφορά των αρχείων με τις ασκήσεις σε Προόδους και Εκθετικές - Λογαριθμικές εξισώσεις.
Υ.Γ. (2) Παρατηρήστε ότι: a = ημ210° ή a = ημ30°, b = συν90° και c = -α.
Άσχετο, θα πείτε, ... αλλά ήθελα να βάλω και λίγη τριγωνομετρία στην άσκηση, ευχαριστώντας σας για τα καλά σας λόγια...
Έστω . Είναι: (1)Φωτεινή έγραψε: Άσκηση-3-
Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς , ώστε αν οι αριθμοί είναι οι ρίζες του τριωνύμου
οι αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
Από τύπους Vieta (2), (3)
Από (1), (2):
• Αν b = 0, τότε άρα και η εξίσωση γράφεται: , οπότε είναι.
Αν , η πρόοδος είναι:, άρα .
Ομοίως, αν , η πρόοδος γράφεται: άρα .
• Αν και ω η διαφορά της προόδου, τότε
Η (3) γράφεται:
Άρα , (όπως παραπάνω)
Γιώργος Ρίζος
Υ.Γ. (1)Ευχαριστούμε την Μαργαρίτα για την προσφορά των αρχείων με τις ασκήσεις σε Προόδους και Εκθετικές - Λογαριθμικές εξισώσεις.
Υ.Γ. (2) Παρατηρήστε ότι: a = ημ210° ή a = ημ30°, b = συν90° και c = -α.
Άσχετο, θα πείτε, ... αλλά ήθελα να βάλω και λίγη τριγωνομετρία στην άσκηση, ευχαριστώντας σας για τα καλά σας λόγια...
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5310
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου
Πολυτεχνικός - Γεωπονοδασολογικός - Φυσικομαθηματικός Κύκλος 1976.m.pαpαgrigorakis έγραψε: Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...
Δίνεται η εξίσωση: .
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος
Ήμουν ... μικρός τότε. Την κάναμε στο φροντιστήριο το '79 (η ηρωική γενιά με εισαγωγικές από Δημοτικό για Γυμνάσιο, από Γυμνάσιο για Λύκειο, τη διαρροή θεμάτων κ.λπ....).
Γιώργος Ρίζος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες