Τριτοτέταρτο

erxmer · #1

Δίνεται συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $\displaystyle{ln\left [ e^xf(x)+1-e^x \right ]=3-x}$

1) Nα βρεθεί η ασύμπτωτη στο $+\infty$

2) Nα μελετηθεί η

ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και τα κοίλα

3) Για την συνάρτηση $g(x)=f(x)-a, a \in N^{*}$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

ώστε η

να έχει μοναδική ρίζα στο

4) Nα υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου μεταξύ C_f, y=1,x=0

Ratio · #2

Δίνεται $ln[e^{x}f(x)+1-e^{x}]=3-x$

Θα πρέπει: $e^{x}f(x)+1-e^{x}>0 \Leftrightarrow f(x)>1-e^{-x}$ εδώ έχω μία απορία, σχετικά με το αν πρέπει να μελετηθεί η $1-e^{-x}$

$e^{x}f(x)+1-e^{-x}=e^{3-x} \Leftrightarrow e^{x}f(x)=e^{3-x}+e^x-1 \Leftrightarrow \\ f(x)=e^{3-2x}-e^{-x}+1$

(1)

$\lim _{x\to +\infty}f(x) =\lim_{x\to +\infty} ( e^{3-x}+1-e^{-x}) =\\\\lim_{-x \to -\infty} (e^{3-2x} +1-e^{-x}) = 1$ όπου $\lim_{-x\to -\infty} e^{-x} =0$

(2) Ακρότατα - Κυρτότητα

$f'(x) =(e^{3-2x}+1-e^{-x})' = \frac {e^x-2e^3}{e^{2x}}$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow e^x-2e^3=0 \Leftrightarrow x=3+ln2 \\ f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow x\geq 3+ln2 \Leftrightarrow \\f(x) \downarrow x\in (-\infty, 3+ln2)$
και $f(x) \uparrow x\in (3+ln2,+\infty)$

με ελάχιστο για x=3+ln2

το $f(3+ln2) = 1-\frac {1}{2e^3} >0$

$g(x) = e^{3-2x} -e^{-x}+1-\alpha$ με $\lim g(x)_x\to -\infty = +\infty$

Κυρτότητα:

$f''(x)= \frac{4e^3-e^x}{e^{2x}}$ με $f''(x)=0 \Leftrightarrow 4e^3-e^x=0 \Leftrightarrow x= 3+ln4=3+2ln2$

και

$f''(x)\geq 0 \Leftrightarrow x\leq3+2ln2$ επομένως η f(x)

είναι κυρτή για $x\in ( -\infty,3+2ln2)$ και κοίλη για $x\in (3+2ln2,+\infty )$ με σημείο καμπής x=3+2ln2

και $f(3+2ln2)=\frac{16-4e^{-3}}{16}>0$

(3) Δίνεται $g(x)=f(x)-\alpha , \alpha \in \mathbb{N}^{*}$

με $\lim g(x) _{x\to -\infty} = +\infty$ και $\lim g(x)_{x\to +\infty} =1-\alpha$

Αν $\alpha \in (0,3+ln2) \Rightarrow \alpha =1$ ή $\alpha=2$ ή $\alpha=3$
θα πρέπει $g(3+ln2)<0 \Leftrightarrow \alpha >f(3+ln2) \Leftrightarrow \alpha>\frac{4e^3-1}{4e^3} επομένως \alpha=1$ ή $\alpha=2$ ως οι μικρότεροι φυσικοί της προηγούμενης τριάδας
Σε περίπτωση πού $\alpha=1$ , $\lim _{x\to +\infty}g(x)=0$ άρα $\alpha=2$

(4)
Δεδομένου ότι η f(x)>0

το ολοκλήρωμα υπολογίζεται

$\int_{0}^{3} f(x)dx=\int_{0}^{3}(e^{3-2x}-e^{-x}+1)dx=\\\left [ \frac{-e^3}{2e^{2x}} \right +e^{-x}+x]_{0}^{3}=\\ \frac{e^3}{2}+\frac{1}{e^3}+2 \simeq 12.091$

Τριτοτέταρτο

Τριτοτέταρτο

Re: Τριτοτέταρτο

Μέλη σε σύνδεση