Συνεχίζοντας τη συζήτηση

M.S.Vovos · #1

Καλησπέρα στο forum

.

Συνεχίζοντας από εδώ καταθέτω μια σκέψη - πρόταση.

Λόγω του ότι πραγματικά προκύπτει μια σχετική (ίσως και αρκετή) σύγχυση σε σχέση με το τι είναι μαθηματικά ορθό ' στο παραπάνω θέμα έγινε λόγος γιατί να βρούμε και τις δύο ευθείες αφού δεν είναι ξεκάθαρο από την εκφώνηση της άσκησης, νομίζω ότι θα ήταν πιο "ξεκάθαρο" η άσκηση να διατυπώνεται ως εξής:

Παράδειγμα:
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)=x+ln\left ( x^{2}+1 \right )$ .

(α) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $\displaystyle xe^{\frac{2}{x}}-e^{2}=0$ , .

(β) Να αποδείξετε ότι από το σημείο τομής των αξόνων, άγονται ακριβώς δύο εφαπτομένες προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

"Έμεινα" περισσότερο στο συγκεκριμένο ζήτημα, μιας και παρατηρείται πολύ συχνά ως ερώτημα στις πανελλήνιες εξετάσεις. Ίσως, λοιπόν, αντί να ζητάμε την εφαπτομένη, να μετατρέπουμε το ερώτημα σε αποδεικτικό.

Φιλικά,
Μάριος

Α.Αποστόλου · #2

Και πάλι έχει πρόβλημα από μαθηματικής άποψης.

"Είναι ακριβώς δύο οι εφαπτόμενες οι οποίες δεν είναι κατακόρυφες"

Εφόσον οι κατακόρυφες είναι εκτός ύλης, δεν μπορούν (τυπικά) να εξεταστούν αν είναι ή δεν είναι λύσεις του ζητήματος.
Οπότε σε αποδεικτικό ζήτημα θα πρέπει να διατυπώνεται.

(παραδέχομαι ότι δεν είναι πρόβλημα της εκφώνησης αλλά της ύλης)

Tolaso J Kos · #3

M.S.Vovos έγραψε:
Παράδειγμα:
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)=x+ln\left ( x^{2}+1 \right )$ .

(α) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $\displaystyle xe^{\frac{2}{x}}-e^{2}=0$ , .

(β) Να αποδείξετε ότι από το σημείο τομής των αξόνων, άγονται ακριβώς δύο εφαπτομένες προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

α) Η εξίσωση μετά το ρίξιμο των λογαρίθμων γράφεται:
$\displaystyle{\begin{aligned} xe^{2/x} -e^2=0 &\Leftrightarrow xe^{2/x} =e^2 \\ &\Leftrightarrow \ln \left ( x e^{2/x} \right )= \ln e^2 \\ &\Leftrightarrow \ln x + \frac{2}{x} = 2 \end{aligned}}$ Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=\ln x + \frac{2}{x},\; x>0$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με παράγωγο $\displaystyle{f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} = \frac{x-2}{x^2}}$ . Συνεπώς f'(2)=0

. Άρα στο $[2, +\infty)$ η

είναι γνήσια αύξουσα και στο (0, 2]

είναι γνήσια φθίνουσα. Στο x_0=2

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ίσο με $f(2)=\ln 2 + 1$ . Το σύνολο τιμών σε καθένα από τα διαστήματα είναι $\mathcal{R}_1 =f\left ( \left ( 0, 2 \right ] \right )= \left [ \ln 2 + 1 , +\infty \right )$ ενώ το $\mathcal{R}_2 =f\left ( \left [ 2, +\infty \right ) \right )= \left [ \ln 2 + 1 , +\infty \right )$ . Το

ανήκει και στο $\mathcal{R}_1$ και στο $\mathcal{R}_2$ . Λόγω μονοτονίας η εξίσωση f(x)=2

έχει μοναδική ρίζα σε καθένα διάστημα. Συνολικά , λοιπόν, η εξίσωση έχει δύο ρίζες μία εκ των οποίων είναι η προφανής x=1

.

β) Το σημείο τομής των αξόνων είναι το γνωστό σε όλους μας ${\rm O}(0, 0)$ . Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο $\displaystyle{f'(x) = 1 + \frac{2x}{x^2+1}}$ . Έστω $A \left ( x_0, f\left ( x_0 \right ) \right )$ σημείο της γραφικής παράστασης της

. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό είναι της μορφής
$\displaystyle{\left ( \varepsilon \right )_A: y - f\left ( x_0 \right ) = f'\left ( x_0 \right ) \left ( x- x_0 \right )}$ Για να διέρχεται η εφαπτομένη από το σημείο ${\rm O}$ θα πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου να επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Βάζοντας τα επάνω αναγόμαστε στη πάνω εξίσωση που αποδείξαμε ότι έχει δύο ακριβώς ρίζες.

#4

M.S.Vovos έγραψε:Καλησπέρα στο forum .

"Έμεινα" περισσότερο στο συγκεκριμένο ζήτημα, μιας και παρατηρείται πολύ συχνά ως ερώτημα στις πανελλήνιες εξετάσεις. Ίσως, λοιπόν, αντί να ζητάμε την εφαπτομένη, να μετατρέπουμε το ερώτημα σε αποδεικτικό.

Φιλικά,
Μάριος

Καλό μεσημέρι σε όλους!

Να ξεκαθαρίσουμε εδώ δύο πράγματα, αυτά που έχω σημειώσει με κόκκινο.
● Η ορθότητα της διατύπωσης μιας άσκησης και η διατύπωση των ασκήσεων στις Πανελλήνιες, είναι δύο διαφορετικά πράγματα ανεξάρτητα μεταξύ τους. Υπάρχει συγκεκριμένος λόγος που πολλά από τα ερωτήματα στις ασκήσεις των Πανελληνίων είναι αποδεικτικά. Και αυτός είναι ότι αν ένας μαθητής δεν μπορέσει να βρει τον τύπο μιας συνάρτησης ή υπολογίσει λάθος τις τιμές κάποιων παραμέτρων, να μην χάσει και τα υπόλοιπα υποερωτήματα της άσκησης.

● Ας φύγουμε λοιπόν από τη σκιά των Πανελληνίων και ας μιλήσουμε γενικότερα. Το αν η άσκηση έχει αποδεικτικό ή υπολογιστικό χαρακτήρα έγκειται στην κρίση του θεματοδότη. Οι αποδεικτικές ασκήσεις, έχουν μοναδικό σκοπό να βοηθούν τον μαθητή. Σκεφτείτε πόσο ευκολότερο είναι το "Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \frac{1}{2}(a + b + c)\left[ {{{(a - b)}^2} + {{(b - c)}^2} + {{(a - c)}^2}} \right]}$ ", από το "Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση $\displaystyle{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc}$ ".
Όταν λοιπόν ο θεματοδότης θέλει να ελέγξει την αυτενέργεια και την επιδεξιότητα του λύτη, δεν τον καθοδηγεί και κατά συνέπεια δεν του δίνει την αποδεικτέα σχέση ή το αποτέλεσμα.

Συνεχίζοντας τη συζήτηση

Συνεχίζοντας τη συζήτηση

Re: Συνεχίζοντας τη συζήτηση

Re: Συνεχίζοντας τη συζήτηση

Re: Συνεχίζοντας τη συζήτηση

Μέλη σε σύνδεση