mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 13, 2016 9:00 pm**

: Δύσκολη ισότητα.png (13.35 KiB) Προβλήθηκε 1389 φορές

Το ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB=AC )

, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

και

είναι

το μέσο της

. Γράφω τον κύκλο που ορίζουν τα A, M , C

και ονομάζω

το κέντρο του .

α) Δείξτε ότι : $AC\perp OK$ ..... β) Βρείτε ικανή συνθήκη , ώστε οι δύο κύκλοι να είναι ίσοι .

γ) Βρείτε ικανή συνθήκη , ώστε το κέντρο

να βρίσκεται επί του (O)

.

Λάθος φάκελος , λάθος α) ερώτημα , ελπίζω κάπως να σας γλυκάνω

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 13, 2016 9:52 pm**

α) Ο Θανάσης μας κάνει...πλάκα!

β) Η πλάκα... συνεχίζεται!...

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 13, 2016 11:59 pm**

α) Η

είναι η κοινή χορδή των δύο κύκλων, οπότε από την θεωρία, $AC \perp OK$ .

β) Έστω $AB=AC=b, \,\, BC=a, \,\, AO=OC=AK=KC=R$ .

Έχουμε προφανώς $\boxed{(ABC)=2(AMC)}$ .

Είναι $(ABC)=\dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4R} \Leftrightarrow \boxed{(ABC)=\dfrac{ab^2}{4R}}$ και $\boxed{(AMC)=\dfrac{b^2MC}{8R}}$ .

Έτσι, $\dfrac{ab^2}{4R}=\dfrac{2b^2MC}{8R} \Leftrightarrow \boxed{MC=a}$ .

Τέλος, από το πρώτο θεώρημα των διαμέσων έχουμε $AC^2+BC^2=\dfrac{AB^2}{2}+2MC^2 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{b=a\sqrt{2}}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 14, 2016 2:02 am**

Καλημέρα . Σε μένα , πάντως μου άρεσε το β ερώτημα και βεβαίως η λύση του Ορέστη !

: Ισότητα κύκλων.PNG (13.3 KiB) Προβλήθηκε 1303 φορές

Είναι $\widehat{AKN}=90^{0}-\widehat{BAC}/2=\widehat{B}$ αλλά και $\widehat{BMC}=\widehat{P}=\widehat{AKC}/2=\widehat{AKN}$

συνεπώς το τρίγωνο BMC

είναι ισοσκελές και όμοιο με το ABC

Έπεται $\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b/2}\Leftrightarrow b^{2}=2a^{2}$ .

Φιλικά Γιώργος .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 14, 2016 6:06 am**

Σχετικά με το δέυτερο ερώτημα:

Δύο ίσες γωνίες σε ίσους κύκλους βαίνουν σε τόξα ίσου μήκους. Άρα BC=MC

διότι $\widehat{BAC}=\widehat{MAC}=\widehat{A}$ . Η συνέχεια όπως είπαν και άλλοι μας δίνει $b=\sqrt{2}a$ .

Αυτή είναι αναγκαία συνθήκη. Για να δείξουμε οτι είναι ικανή αρκεί να παρατηρήσουμε οτι αν σε δύο κύκλους δύο ίσες γωνίες βαίνουν σε τόξα ίσου μήκους τότε οι κύκλοι είναι ίσοι.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 14, 2016 10:49 am**

KARKAR έγραψε:Δύσκολη ισότητα.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και είναι

το μέσο της . Γράφω τον κύκλο που ορίζουν τα και ονομάζω το κέντρο του .

γ) Βρείτε ικανή συνθήκη , ώστε το κέντρο να βρίσκεται επί του .