Νωρίς ακόμα...

M.S.Vovos · #1

Μία κατασκευή. Αν και τα ολοκληρώματα δεν έχουν κάνει την εμφάνιση τους ακόμα, παραθέτω το παρακάτω θέμα.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ \alpha ,\beta \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με $\alpha <0<\beta$ , για την οποία ισχύουν:

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f^{2}(\alpha )+f^{2}(\beta )+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\leq 2\left [ \alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) \right ]}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}0\neq f'(x)\leq 1}$ , για κάθε $x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\left [ \alpha ,\beta \right ]$ .
(β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

τέμνει τον άξονα x'x

σε μοναδικό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε.
(γ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f\left ( \left ( f(x)-\alpha \right )\left ( f(x)-\beta \right ) \right )\leq 0}$ , για κάθε $x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]$ .
(δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}$ . Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle -\hspace{3mm} (i) \int_{\alpha }^{\beta }\left ( f(x)+f^{-1}(x) \right )dx=\beta ^{2} -\alpha ^{2}$

$\displaystyle -\hspace{3mm} (ii) \int_{\alpha }^{\beta }f^{2}(x)dx-\left ( \alpha +\beta \right )\int_{\beta }^{\alpha }f^{-1}(x)dx<\beta ^{3}-\alpha ^{3}$

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Φυσικά μπορούμε να ''χαλαρώσουμε'' την συνθήκη της συνέχειας της

. Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε και κάποιες προσεγγίσεις χωρίς Darboux.

#2

M.S.Vovos έγραψε:Μία κατασκευή. Αν και τα ολοκληρώματα δεν έχουν κάνει την εμφάνιση τους ακόμα, παραθέτω το παρακάτω θέμα.

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ \alpha ,\beta \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με $\alpha <0<\beta$ , για την οποία ισχύουν:

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f^{2}(\alpha )+f^{2}(\beta )+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\leq 2\left [ \alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) \right ]}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}0\neq f'(x)\leq 1}$ , για κάθε $x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\left [ \alpha ,\beta \right ]$ .
(β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα σε μοναδικό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε.
(γ) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f\left ( \left ( f(x)-\alpha \right )\left ( f(x)-\beta \right ) \right )\leq 0}$ , για κάθε $x\in \left [ \alpha ,\beta \right ]$ .
(δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}$ . Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle -\hspace{3mm} (i) \int_{\alpha }^{\beta }\left ( f(x)+f^{-1}(x) \right )dx=\beta ^{2} -\alpha ^{2}$

$\displaystyle -\hspace{3mm} (ii) \int_{\alpha }^{\beta }f^{2}(x)dx-\left ( \alpha +\beta \right )\int_{\beta }^{\alpha }f^{-1}(x)dx<\beta ^{3}-\alpha ^{3}$

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Φυσικά μπορούμε να ''χαλαρώσουμε'' την συνθήκη της συνέχειας της . Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε και κάποιες προσεγγίσεις χωρίς Darboux.

...την Καλήσπέρα μου στη παρέα με μία παρατήρηση στο θέμα του Μάριου....

Από ${{f}^{2}}(\alpha )+{{f}^{2}}(\beta )+{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}\le 2\left[ \alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) \right]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {{\left( f(a)-\alpha \right)}^{2}}+{{\left( f(\beta )-\beta \right)}^{2}}\le 0$ επομένως αναγκαία

$f(a)-\alpha =f(\beta )-\beta =0$ δηλαδή είναι $f(a)=\alpha ,\,\,f(\beta )=\beta$

Και από ${f}'(x)\le 1\Leftrightarrow {{\left( f(x)-x \right)}^{\prime }}\le 0,\,\,\,x\in [\alpha ,\,\beta ]$ για την

$g(t)=f(t)-t,\,\,\,t\in [\alpha ,\,\beta ]$ από Θ.Μ.Τ. στα $[\alpha ,\,x],\,\,[x,\,\beta ],\,\,\,x\in (\alpha ,\,\beta )$ υπάρχουν

${{x}_{1}}\in (\alpha ,\,x),\,\,{{x}_{2}}\in (x,\,\beta )$ που

${g}'({{x}_{1}})=\frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha },\,\,{g}'({{x}_{2}})=\frac{g(\beta )-g(x)}{\beta -x}$ και επειδή

${g}'({{x}_{1}})\le 0\Leftrightarrow \frac{g(x)-g(\alpha )}{x-\alpha }\le 0\Leftrightarrow g(x)\le g(\alpha )$ και

${g}'({{x}_{2}})\le 0\Leftrightarrow \frac{g(\beta )-g(x)}{x-\alpha }\le 0\Leftrightarrow g(\beta )\le g(x)$

και ακόμη $g(\alpha )=g(\beta )=0$ θα ισχύει ότι $g(x)=0,\,\,\,x\in (\alpha ,\,\,\beta )$ και τελικά

$g(x)=0,\,\,\,x\in [\alpha ,\,\,\beta ]$ δηλαδή $f(x)=x,\,\,\,x\in [\alpha ,\,\,\beta ]$

και έτσι τα υπόλοιπα ερωτήματα γίνονται τετριμμένα… δεν ξέρω αν έχω κάνει καμμιά πατάτα...
θα μας πει ο δημιουργός

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #3

Καλησπέρα κ. Βασίλη! Καλή χρονιά!

Με "καθαρίσατε" στα γρήγορα

!

Με μια γρήγορη ματιά μου φαίνεται σωστό αυτό που έχετε γράψει. Οπότε φυσικά και μετά όλα είναι τετριμμένα.

Για άλλο πήγαινα και άλλο προέκυψε. Μέσα από μια όμορφη λύση δημιουργήθηκε μια όμορφη άσκηση.

Φιλικά,
Μάριος

Νωρίς ακόμα...

Νωρίς ακόμα...

Re: Νωρίς ακόμα...

Re: Νωρίς ακόμα...

Μέλη σε σύνδεση