Το μέσο

#1

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,a\ne 0$ . Αν η έχει τοπικό ακρότατο, να δείξετε ότι έχει ένα τοπικό μέγιστο έστω $f\left( {{x}_{1}} \right)$ , ένα τοπικό ελάχιστο , έστω $f\left( {{x}_{2}} \right)$ και ένα σημείο καμπής , έστω $M\left( {{x_m},f\left( {{x_m}} \right)} \right)$ και να δειχθεί ότι το σημείο είναι το μέσο του τμήματος ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ , όπου ${{A}_{1}}\left( {{x}_{1}},f\left( {{x}_{1}} \right) \right)$ και ${{A}_{2}}\left( {{x}_{2}},f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,a\ne 0$ . Αν η έχει τοπικό ακρότατο, να δείξετε ότι έχει ένα τοπικό μέγιστο έστω $f\left( {{x}_{1}} \right)$ , ένα τοπικό ελάχιστο , έστω $f\left( {{x}_{2}} \right)$ και ένα σημείο καμπής , έστω $M\left( {{x_m},f\left( {{x_m}} \right)} \right)$ και να δειχθεί ότι το σημείο είναι το μέσο του τμήματος ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ , όπου ${{A}_{1}}\left( {{x}_{1}},f\left( {{x}_{1}} \right) \right)$ και ${{A}_{2}}\left( {{x}_{2}},f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$

Στάθης

Καλημέρα Στάθη!

Αφού η

έχει τοπικό ακρότατο, τότε από Fermat θα μηδενίζεται η παράγωγός της στη θέση του τοπικού ακρότατου. Η παράγωγος

όμως $\displaystyle{f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c,a \ne 0}$ είναι τριώνυμο β' βαθμού και δεν μπορεί να έχει μία διπλή ρίζα, γιατί τότε θα διατηρούσε

το πρόσημό της εκατέρωθεν της διπλής ρίζας οπότε δεν θα είχε ακρότατο. Άρα η παράγωγος έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

έστω x_1, x_2

που είναι θέσεις τοπικού μέγιστου και τοπικού ελάχιστου αντίστοιχα, με $\boxed{{x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}}}$ και $\boxed{x_1x_2=\frac{c}{3a}}$

$\displaystyle{f''(x) = 6ax + 2b = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = {x_m} = - \frac{b}{{3a}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}}$

Επομένως η

έχει σημείο καμπής στο μέσο του τμήματος ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ (*) , όπου ${{A}_{1}}\left( {{x}_{1}},f\left( {{x}_{1}} \right) \right)$ και ${{A}_{2}}\left( {{x}_{2}},f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$

(*) Χρειάζεται ακόμα να δειχθεί ότι $\displaystyle{f({x_m}) = \frac{{f({x_1}) + f({x_2})}}{2}}$ , το οποίο προκύπτει αλγεβρικά αν λάβουμε υπόψη μας τις ταυτότητες:

$\displaystyle{{a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab}$ και $\displaystyle{{a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b)}$

Το μέσο

Το μέσο

Re: Το μέσο

Μέλη σε σύνδεση