mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 08, 2017 12:15 am**

Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο

συναρτήσεις f,g

για τις οποίες ισχύουν $\displaystyle{f'(x)=3e^{3e^x-1+x-f(x)}, x \in R}$

και f(0)=2

, και

και η γραφική παράσταση της

τέμνει τον yy'

στο ίδιο σημείο που

τον τέμνει και η

ενώ βρίσκεται όλη πάνω από την ευθεία y=1

.

1) Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις

και

είναι γνησίως αύξουσες

2) Nα βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων και να αποδειχθεί οτι έχουν δυο κοινά σημεία

3) Να βρεθούν τα $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{g(x)lnx}}$ , $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{g(x)}{f(x)tanx}}$

3) Να βρεθεί το εμβαδό μεταξύ των αντιστρόφων τους $C_f^{-1},C_g^{-1}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 08, 2017 1:40 am**

erxmer έγραψε:Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν $\displaystyle{f'(x)=3e^{3e^x-1+x-f(x)}, x \in R}$

και , και και η γραφική παράσταση της τέμνει τον στο ίδιο σημείο που

τον τέμνει και η ενώ βρίσκεται όλη πάνω από την ευθεία .

1) Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις και είναι γνησίως αύξουσες

2) Nα βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων και να αποδειχθεί οτι έχουν δυο κοινά σημεία

3) Να βρεθούν τα $\displaystyle{\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{g(x)lnx}}$ , $\displaystyle{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{g(x)}{f(x)tanx}}$

3) Να βρεθεί το εμβαδό μεταξύ των αντιστρόφων τους $C_f^{-1},C_g^{-1}$

ΛΥΣΗ

1) Αφού ${f}'(x)=3{{e}^{3{{e}^{x}}-1+x-f(x)}}>0\,\,\,\,\,x\in R$ η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα στο

.

Τώρα επειδή η γραφική παράσταση της

βρίσκεται όλη πάνω από την ευθεία y=1

θα ισχύει ότι $g(x)>1,\,\,x\in R$ και από

{g}'(x)=2(g(x)-1)>0

και η

θα είναι γνήσια αύξουσα στο

.

2) Από ${f}'(x)=3{{e}^{3{{e}^{x}}-1+x-f(x)}}\Leftrightarrow {{e}^{f(x)+1}}{f}'(x)=3{{e}^{3{{e}^{x}}}}{{e}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{f(x)+1}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{3{{e}^{x}}}} \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {{e}^{f(x)+1}}={{e}^{3{{e}^{x}}}}+c$ και επειδή f(0)=2

θα είναι $\Leftrightarrow {{e}^{f(0)+1}}={{e}^{3}}+c\Leftrightarrow {{e}^{3}}={{e}^{3}}+c\Leftrightarrow c=0$ άρα

${{e}^{f(x)+1}}={{e}^{3{{e}^{x}}}}\Leftrightarrow f(x)+1=3{{e}^{x}}\Leftrightarrow f(x)=3{{e}^{x}}-1,\,\,\,x\in R$

Από ${g}'(x)=2g(x)-2\Leftrightarrow {g}'(x)-2g(x)=-2\Leftrightarrow {{e}^{-2x}}{g}'(x)-2{{e}^{-2x}}=-2{{e}^{-2x}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{-2x}}g(x) \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{-2x}} \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow {{e}^{-2x}}g(x)={{e}^{-2x}}+c\Leftrightarrow g(x)=1+c{{e}^{2x}}$

και αφού από υπόθεση g(0)=f(0)=2

έχουμε $g(0)=1+c{{e}^{0}}\Rightarrow 1=c$ επομένως $g(x)=1+{{e}^{2x}},\,\,\,x\in R$

Τώρα $f(x)=g(x)\Leftrightarrow 3{{e}^{x}}-1=1+{{e}^{2x}}\Leftrightarrow {{e}^{2x}}-3{{e}^{x}}+2=0\Leftrightarrow \left\{ {{e}^{x}}=1,\,\,\,{{e}^{x}}=2\left. {} \right\} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ x=0,\,\,\,x=\ln 2\left. {} \right\} \right.$ άρα έχουν δυο κοινά σημεία τα $(0,\,2),\,\,\,(\ln 2,\,\,5)$

3) Έχουμε $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)lnx}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{e}^{x}}-1}{({{e}^{2x}}+1)lnx}=0$ αφού

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{e}^{x}}-1}{{{e}^{2x}}+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(3{{e}^{x}}-1{)}'}{({{e}^{2x}}+1{)}'}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{e}^{x}}}{2{{e}^{2x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{2{{e}^{x}}}=0$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\ln x}=0$

Ακόμη $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{f(x)tanx}=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)cosx}{f(x)sinx}=\frac{g(\frac{\pi }{2})cos\frac{\pi }{2}}{f(\frac{\pi }{2})sin\frac{\pi }{2}}=0$ .

...τώρα

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

mathematica.gr

Διπλή

Διπλή

Re: Διπλή