Ρίζες - Πρόσημο - Εμβαδόν

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει:
$\displaystyle{f^{2}(x)=x^{2}-\sigma \upsilon \nu ^{2}x-2\left | x \right |\eta \mu x+1}$ (α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης

τέμνει τον άξονα x'x

.

(β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

διατηρεί το πρόσημο της στα διαστήματα $\left ( -\infty ,0 \right )$ και $\left ( 0,+\infty \right )$ . Διατηρεί το πρόσημο της στο $\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )$ ;

(γ) Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της συνάρτησης

; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται απ' τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

, τον άξονα x'x

και τις ευθείες $x=-\pi$ και $x=\pi$ .

Φιλικά,
Μάριος

andreas576 · #2

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μία κατασκευή, που προορίζεται για θέμα Β.
Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει:
$\displaystyle{f^{2}(x)=x^{2}-\sigma \upsilon \nu ^{2}x-2\left | x \right |\eta \mu x+1}$ (α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα .

(β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημο της στα διαστήματα $\left ( -\infty ,0 \right )$ και $\left ( 0,+\infty \right )$ . Διατηρεί το πρόσημο της στο $\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )$ ;

(γ) Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της συνάρτησης ; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται απ' τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τον άξονα και τις ευθείες $x=-\pi$ και $x=\pi$ .

Φιλικά,
Μάριος

Aπό την αρχικη σχέση εχουμε ισοδύναμα $f^{2}(x)=(\left | x \right |-sin(x))^{2}\Leftrightarrow \left | f(x) \right |=\left | x \right |-sin(x)$
αφού $\left | x \right |-sin(x)\geqslant 0 , \forall x \in \mathbb{R}]$ με ισοτητα για x=0

Άρα $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Η

διατηρεί προσημο σε καθενα απά τα διαστήματα $\left ( 0,+\infty \right )$ και $\left ( -\infty,0 \right )$ όχι ομως στην ενωση απαραίτητα.
Οι πιθανοί τύποι(λόγω συνέχειας) ειναι : $1) f(x)=\left | x \right |-sin(x) \forall x \in R 2) f(x)=sin(x)-\left | x \right | \forall x \in R 3)f(x)=\left\{\begin{matrix} \left | x \right |-sin(x) \forall x \in [0,+\infty ) \\ sin(x)-\left | x \right |, \forall x\in(-\infty,0) \end{matrix}\right. 4)f(x)=\left\{\begin{matrix} \left | x \right |-sin(x) \forall x \in (-\infty,0 ] \\ sin(x)-\left | x \right |, \forall x\in(0,+\infty) \end{matrix}\right$

και τέλος για το εμβαδόν εχουμε ότι $E=\int_{-\pi }^{\pi }\left | f(x) \right |dx=\int_{-\pi }^{\pi }(\left | x \right |-sin(x))dx=2\int_{0}^{\pi }\left | x \right |dx-0=\pi ^{2}$ αφού η $\left | x \right |$ ειναι άρτια και η sin(x)

περιττή

M.S.Vovos · #3

andreas576 έγραψε: Aπό την αρχικη σχέση εχουμε ισοδύναμα $f^{2}(x)=(\left | x \right |-sin(x))^{2}\Leftrightarrow \left | f(x) \right |=\left | x \right |-sin(x)$
αφού $\left | x \right |-sin(x)\geqslant 0 , \forall x \in \mathbb{R}]$ με ισοτητα για
Άρα $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Η διατηρεί προσημο σε καθενα απά τα διαστήματα $\left ( 0,+\infty \right )$ και $\left ( -\infty,0 \right )$ όχι ομως στην ενωση απαραίτητα.
Οι πιθανοί τύποι(λόγω συνέχειας) ειναι : $1) f(x)=\left | x \right |-sin(x) \forall x \in R 2) f(x)=sin(x)-\left | x \right | \forall x \in R 3)f(x)=\left\{\begin{matrix} \left | x \right |-sin(x) \forall x \in [0,+\infty ) \\ sin(x)-\left | x \right |, \forall x\in(-\infty,0) \end{matrix}\right. 4)f(x)=\left\{\begin{matrix} \left | x \right |-sin(x) \forall x \in (-\infty,0 ] \\ sin(x)-\left | x \right |, \forall x\in(0,+\infty) \end{matrix}\right$

και τέλος για το εμβαδόν εχουμε ότι $E=\int_{-\pi }^{\pi }\left | f(x) \right |dx=\int_{-\pi }^{\pi }(\left | x \right |-sin(x))dx=2\int_{0}^{\pi }\left | x \right |dx-0=\pi ^{2}$ αφού η $\left | x \right |$ ειναι άρτια και η περιττή

Ανδρέα πρόσεξε, η άσκηση σου λέει να εξετάσεις αν διατηρεί πρόσημο η

στην ένωση, χρειάζεται απόδειξη. Το όχι απαραίτητα δεν είναι απόδειξη. Επίσης, το τελευταίο κομμάτι με το ολοκλήρωμα, σωστό είναι αυτό που γράφεις, εν τούτοις θέλει απόδειξη. Το σχολικό δεν κάνει αναφορά για τέτοιες ιδιότητες περιττών και αρτίων συναρτήσεων.

Φιλικά.

Ρίζες - Πρόσημο - Εμβαδόν

Ρίζες - Πρόσημο - Εμβαδόν

Re: Ρίζες - Πρόσημο - Εμβαδόν

Re: Ρίζες - Πρόσημο - Εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση