Διαιρετότητα

Ορέστης Λιγνός · #1

Δείξτε ότι για κάθε $n \in \mathbb{Z}$ , το n^2+3n+5

δεν διαιρείται με το 121

.

Μέχρι 14/2/2017.

Υ.Γ. Χάρη καλή όρεξη ... για την άσκηση

harrisp · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δείξτε ότι για κάθε $n \in \mathbb{Z}$ , το δεν διαιρείται με το .

Μέχρι 14/2/2017.

Υ.Γ. Χάρη καλή όρεξη ... για την άσκηση

Γεια σου Ορέστη !

Παω για φαγητο και θα επιστρέψω αμέσως...

harrisp · #3

Επιστρέφω ....

Γράφουμε την δοσμένη (n-4)(n+7)+33

οποτε πρεπει 11|(n-4)

ή

. Αν όμως

τότε επεται 11|n+7

και το αντίστροφο. Αρα το 121

διαίρει το γινόμενο όμως αυτο δεν μπορει να ισχύει αφου το

δεν διαιρείται με το 121

Ορέστης Λιγνός · #4

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επιστρέφω ....

Γράφουμε την δοσμένη οποτε πρεπει ή . Αν όμως τότε επεται και το αντίστροφο. Αρα το διαίρει το γινόμενο όμως αυτο δεν μπορει να ισχύει αφου το δεν διαιρείται με το

Είπαμε να την φας, αλλά εσύ την καταβρόχθισες!!

thrassos · #5

Καλησπέρα Ορέστη και Χάρη,
Για λόγους ποικιλίας ας παραθέσω μία ακόμη προσέγγιση.
Έστω n^2+3n+5=121k

τότε βλέποντας το σαν τριώνυμο ως προς

έχουμε $\Delta=484k-11$ και επειδή

είναι ακέραιος έπεται ότι $\Delta$ είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως, το πρόβλημα ανάγεται στο δείξουμε ότι $\Delta$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Αρχικά, παρατηρούμε ότι 484k-11=22^2k-11

και έστω ότι 22^2k-11=m^2

τότε $m^2\equiv 0 (mod11)$ και άρα
11|m

.Τότε

και άρα

γεγονός που οδηγεί σε άτοπο.

Φιλικά,
Θράσος

#6

Και λίγο διαφορετικά για μία καλησπέρα στους εξαιρετικούς μαθητές μας: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν n,r

ακέραιοι ώστε n^2+3n+5=121r

. Τότε η εξίσωση

n^2+3n+5-121r=0

πρέπει να έχει διακρίνουσα που να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Άρα πρέπει να υπάρχει ακέραιος

ώστε

οπότε $k^2=4\cdot 121r-11$ κι έτσι πρέπει 11|k

δηλαδή

για κάποιο ακέραιο k_1

. Τότε η τελευταία γίνεται $11k_1^2=4\cdot 11r-1$ απ' όπου 11|1

, άτοπο.

Edit: Είναι παρόμοια λύση με την παραπάνω του Θρασύβουλου (??) την οποία γράφαμε προφανώς ταυτόχρονα. Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης.

Αλέξανδρος

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση