Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

#1

Δίνονται τέσσερις ευθείες e_1, e_2, e_3, e_4

, από τις οποίες οι e_1, e_2

είναι παράλληλες. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέμνει και τις τέσσερις.

Σχόλιο για το λόγο της ανάρτησης κατόπιν των απαντήσεων σας,

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Δίνονται τέσσερις ευθείες , από τις οποίες οι είναι παράλληλες. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέμνει και τις τέσσερις.

Έστω

τα σημεία που οι e_3, e_4

τέμνουν το επίπεδο των e_1, e_2

. Τότε (στην γενική περίπτωση) η

τέμνει και τις τέσσερις. Eξαιρείται η περίπτωση όπου η

είναι παράλληλη στις e_1, e_2

, οπότε και δεν υπάρχει ευθεία όπως η ζητούμενη.

mikemoke · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Γιώργος Ρίζος έγραψε:Δίνονται τέσσερις ευθείες , από τις οποίες οι είναι παράλληλες. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέμνει και τις τέσσερις.
Έστω τα σημεία που οι τέμνουν το επίπεδο των . Τότε (στην γενική περίπτωση) η τέμνει και τις τέσσερις. Eξαιρείται η περίπτωση όπου η είναι παράλληλη στις , οπότε και δεν υπάρχει ευθεία όπως η ζητούμενη.

Εξαίρεση δεν είναι και όταν μια τουλάχιστον των e_3,e_4

είναι παράλληλη e_1, e_2

;

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

Επειδή οι

είναι παράλληλες, ορίζουν ένα επίπεδο (e_1,e_2)

. Έστω

η ζητούμενη ευθεία. Επειδή η

πρέπει να τέμνει τις e_1 , e_2

, θα ανήκει στο επίπεδο (e_1,e_2)

. Αν κάποια από τις e_3,e_4

είναι παράλληλη στο (e_1,e_2)

το πρόβλημα δεν έχει λύση.
Αν οι e_3,e_4

τέμνουν το επίπεδο (e_1,e_2)

η λύση είναι αυτή που έχει δώσει ο Μιχάλης.

#5

mikemoke έγραψε: Εξαίρεση δεν είναι και όταν μια τουλάχιστον των είναι παράλληλη ;

Εξαίρεση της εξαίρεσης είναι όταν, για παράδειγμα, η e_3

είναι μεν παράλληλη των e_1, e_2

αλλά συνεπίπεδη. Τότε το πρόβλημα έχει λύση (εκτός ειδικών περιπτώσεων με βάση την e_4

).

Εξέλαβα το αρχικό πρόβλημα ως να υπονοεί ότι μόνο οι e_1, e_2

είναι παράλληλες. Αλλιώς πέφτουμε σε ανιαρή περιπτωσιολογία. Για παράδειγμα, αν πάρουμε όλες τις εκδοχές τότε πρέπει να εξετάσουμε και τις περιπτώσεις όπου κάποιες από τις e_1, e_2, e_3, e_4

συμπίπτουν. Αλλά τότε ... καήκαμε.

#6

Σάς ευχαριστώ όλους για τις άμεσες απαντήσεις σας.

Ήθελα, με αφορμή αυτό το απλό θεματάκι, να ανοίξω το θέμα της διδασκαλίας της Στερεομετρίας.
Πιστεύω ότι μπορούμε να συμβάλουμε με τις παρατηρήσεις μας, τα σχόλια, τις προεκτάσεις μας να διδαχτεί καλύτερα το κεφάλαιο αυτό.

Η άσκηση είναι από το σχολικό βιβλίο (παρ. 12.3, αποδ. ασκ. 4) κι έχει αυτήν τη διατύπωση. Μού φάνηκε κάπως ασαφής, όπως εξάλλου παρατηρείτε κι εσείς.
Άρχισα να σκέφτομαι πόσες δυνατές περιπτώσεις υπάρχουν, παίρνοντας ως δεδομένο ότι μόνο οι e_1, e_2

είναι παράλληλες (δείτε και το σχόλιο του Μιχάλη).

Η ένστασή μου ως προς την προτεινόμενη λύση είναι ότι δεν διερευνά την περίπτωση η e_3

ή (και) η

να είναι παράλληλες προς το επίπεδο των e_1, e_2

.

: 22-02-2017 Στερεομετρία.jpg (12.45 KiB) Προβλήθηκε 1536 φορές

Απάντηση στο βιβλίο λύσεων, σελ. 205.

Ανάλυση: Αν

είναι η ευθεία που τέμνει και τις τέσσερις, αυτή τέμνει τις συνεπίπεδες ευθείες e_1

και

, άρα κείται στο επίπεδό τους.
Κατασκευή: Θεωρώ το επίπεδο $\pi$ των παραλλήλων ευθειών e_1

και

. Αυτό τέμνεται από τις άλλες δύο ευθείες e_3

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Η ευθεία

είναι η ζητούμενη.
(Εδώ, με τα κόκκινα, είναι η ένστασή μου)

Απόδειξη: Η ευθεία

τέμνει τις ευθείες e_3

και

από την κατασκευή. Επειδή όμως βρίσκεται στο επίπεδο των παραλλήλων ευθειών τέμνει και αυτές.
Διερεύνηση: Εάν η ευθεία

είναι παράλληλη στις e_1

και

τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση.

#7

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Δίνονται τέσσερις ευθείες , από τις οποίες οι είναι παράλληλες. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέμνει και τις τέσσερις.

Σχόλιο για το λόγο της ανάρτησης κατόπιν των απαντήσεων σας,

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
αν και προηγούμενεςαναρτήσεις στερεομετρίας δεν έτυχαν της ιδιαίτερης προσοχής σας εκτός των ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΩΝ σχημάτων που μάς χάρησε ο Κώστας Δόρτσιος.

Καλησπέρα.
Με τα τρία σχήματα που αναρτώ συμπεριλαμβάνω τις περιπτώσεις που συζητήθηκαν
1ο σχήμα:

: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο 1.PNG (70.62 KiB) Προβλήθηκε 1507 φορές

Τα σημεία $\displaystyle{A,B}$ είναι τα σημεία που τέμνουν οι $\displaystyle{e_3,e_4}$ το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$
των παραλλήλων $\displaystyle{(e_1, e_2)}$ .
Τότε έχουμε μία λύση την $\displaystyle{(e_4)}$ που ορίζεται από τα $\displaystyle{A,B}$

2ο Σχήμα:

: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο 3.PNG (72.77 KiB) Προβλήθηκε 1507 φορές

Είναι η περίπτωση όπου η ευθεία που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle{A,B}$ είναι παράλληλη με τις $\displaystyle{e_1, e_2}$

3ο Σχήμα:

: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο 2.PNG (120.94 KiB) Προβλήθηκε 1507 φορές

Αν η $\displaystyle{e_4}$ ανήκει σε ένα επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$
τότε πάλι έχουμε αδυναμία λύσης.

Σημείωση
Όλα αυτά με την προϋπόθεση ότι από τις τέσσερις αυτές ευθείες
μόνον οι δύο είναι μεταξύ των παράλληλες και γενικά όλες μαζί ασύμβατες.

Κώστας Δόρτσιος

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #8

Και κάτι ακόμη. Αν οι ευθείες e_3,e_4

τέμνουν το επίπεδο (e_1,e_2)

στο ίδιο σημείο, έστω Μ, τότε κάθε ευθεία του επιπέδου (e_1,e_2)

που διέρχεται απ’ το Μ , εκτός από την παράλληλη προς τις e_1, e_2

τέμνει και τις τέσσερις ευθείες.

: FourLines.png (33.32 KiB) Προβλήθηκε 1471 φορές

Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Re: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Re: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Re: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Re: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Re: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Re: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Re: Τεμνόμενες ευθείες στο χώρο

Μέλη σε σύνδεση