SEEMOUS 2017/4

#1

(α) Έστω μη αρνητικός ακέραιος

. Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \int_0^1 (1-t)^n e^t \, \mathrm{d}t}$

(β) Έστω μη αρνητικός ακέραιος

, και έστω η ακολουθία $(x_n)_{n\geqslant k}$ η οποία ορίζεται με τον τύπο

$\displaystyle{ x_n = \sum_{i=k}^n \binom{i}{k} \left(e - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} - \cdots -\frac{1}{i!} \right)}$

Να δειχθεί ότι η ακολουθία συγκλίνει και να υπολογιστεί το όριό της.

Tolaso J Kos · #2

Demetres έγραψε:(α) Έστω μη αρνητικός ακέραιος . Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \int_0^1 (1-t)^n e^t \, \mathrm{d}t}$

(β) Έστω μη αρνητικός ακέραιος , και έστω η ακολουθία $(x_n)_{n\geqslant k}$ η οποία ορίζεται με τον τύπο

$\displaystyle{ x_n = \sum_{i=k}^n \binom{i}{k} \left(e - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} - \cdots -\frac{1}{i!} \right)}$

Να δειχθεί ότι η ακολουθία συγκλίνει και να υπολογιστεί το όριό της.

Για το (α) προς το παρόν αφού για το (β) κάτι κάνω λάθος και δε μου βγαίνει. Θα το ξανά δω και αν δε με προλάβει κάποιος θα το δώσω.
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \left ( 1-t \right )^n e^t \, {\rm d}t &\overset{u=1-t}{=\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{1} u^n e^{1-u} \, {\rm d}u\\ &= e \int_{0}^{1}u^n e^{-u} \, {\rm d}u\\ &= e \gamma(n+1, 1)\\ &\!\overset{(*)}{=} e n!\left ( 1- e^{-1} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right )\\ &= n! \left ( e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \right ) \end{aligned}}$ Η απάντηση προκύπτει και από

φορές παραγοντική ολοκλήρωση, αλλά είπα να πάρω έτοιμο το τύπο.

Τώρα το (β) είναι άμεση εφαρμογή του πρώτου αφού η ουρά που εμφανίζεται έχει άμεση σχέση με το ολοκλήρωμα στο πρώτο ερώτημα. Αλλά πρέπει να ξανά δω τις πράξεις μου.

#3

Βγαίνει και με το (α) αλλά θα βάλω μια λύση χωρίς αυτό:

Θέλουμε να υπολογίσουμε, αν υπάρχει, το $\displaystyle{\sum_{i=k}^{\infty} \binom{i}{k} \sum_{r=i}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!}}$

Επειδή όλοι οι όροι είναι θετικοί, από Tonelli μπορούμε να ανταλλάξουμε την σειρά των αθροισμάτων. Παίρνουμε

$\displaystyle{\sum_{r=k}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!}\sum_{i=k}^{r} \binom{i}{k} }$

Όμως $\displaystyle{ \sum_{i=k}^{r} \binom{i}{k} = \binom{r+1}{k+1} }$ . Πράγματι, το δεξί μέλος μετρά το πλήθος των τρόπων για να επιλέξουμε k+1

στοιχεία από το σύνολο $\{1,2,\ldots,k+1\}$ . Αν το μεγαλύτερο στοιχείο του συνόλου που θα επιλέξουμε ισούται με i+1

, τότε $k \leqslant i \leqslant r$ και υπάρχουν $\binom{i}{k}$ τέτοια σύνολα. Οπότε και το δεξί μέλος μετρά το ίδιο πλήθος.

Μένει λοιπόν να υπολογίσουμε το

$\displaystyle{ \sum_{r=k}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!} \binom{r+1}{k+1} = \frac{1}{(k+1)!}\sum_{r=k}^{\infty} \frac{1}{(r-k)!} = \frac{e}{(k+1)!}}$

Zarifis · #4

Αλλιώς σκιαγραφοντας την ιδεα, εύκολα βλέπουμε ότι είναι αύξουσα. Φραγμένη: Απο υπόλοιπο taylor σειράς το εσωτερικό είναι μικρότερο από $\frac{e}{(i+1)!}$ .
Άρα μικρότερο από : $\sum \frac{1}{(i-k)!k!} < 2\sum \frac{1}{i!}=2e$ . Άρα συγκλίνει.
Γράφοντας το ως το ολοκλήρωμα της Βετα(α ερώτημα) από fubinι κάνουμε εναλαγή κι έχουμε: $\int_{0}^{1}\sum \binom{i}{k}\frac{(1-t)^i e^t}{i!}dt$

Κι έχουμε: $\sum \binom{i}{k}\frac{(1-t)^i}{i!}=1/k! \sum \frac{(1-t)^i}{(i-k)!}=\frac{(1-t)^k}{k!} \sum \frac{(1-t)^i}{(i)!}=e^{1-t}\frac{(1-t)^k}{k!}$
Άρα σύνολο e/k! B(k+1,1)

SEEMOUS 2017/4

SEEMOUS 2017/4

Re: SEEMOUS 2017/4

Re: SEEMOUS 2017/4

Re: SEEMOUS 2017/4

Μέλη σε σύνδεση