Μια Συνδυαστική

harrisp · #1

Έστω ενα ευθύγραμμο τμήμα

ώστε να ειναι A(0,0)

και

. Να βρείτε το πληθος των σημείων του πλέγματος που βρίσκονται πανω στο ευθύγραμμο τμήμα.

Για Μαθητές έως και αύριο βράδυ .

Friedoon · #2

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Έστω ενα ευθύγραμμο τμήμα ώστε να ειναι και . Να βρείτε το πληθος των σημείων του πλέγματος που βρίσκονται πανω στο ευθύγραμμο τμήμα.

Για Μαθητές έως και αύριο βράδυ .

Οι

και

είναι πραγματικοί ή ακέραιοι;

JimNt. · #3

Αν είναι πραγματικοί έχουμε άπειρα σημεία, τα οποία δεν προσδιορίζεται ότι πρέπει να έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

harrisp · #4

Παράλειψη μου ειναι και οι δυο ακέραιοι.

Και τα σημεια του πλέγματος εχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

Νομίζω πως η άσκηση ανήκει καλύτερα στον φάκελο Θεωρίας Αριθμών...
Αν m=n=0

, τότε έχουμε προφανώς

σημείο.

Αν m=0

ή

έχουμε

ή

αντίστοιχα.

Έστω τώρα $m, n\ne 0$

Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία

και

έχει εξίσωση:

$y=\dfrac{n}{m}\cdot x\Leftrightarrow my=nx$

Μας ενδιαφέρει πόσες θετικές ακέραιες λύσεις έχει αυτή η εξίσωση με την προϋπόθεση όμως $0\leq y\leq n$ και $0\leq x\leq m$ (ακόμα και αν τα m,n

είναι αρνητικά, περιστρέφουμε το ευθύγραμμο τμήμα, έτσι ώστε το

να είναι στο

τεταρτημόριο).

Έστω (m,n)=d

. Τότε

και

, όπου

. Η εξίσωση γίνεται:

$my=nx\Leftrightarrow dky=dly\Leftrightarrow ky=lx$ , με συνθήκη $0\leq y\leq dl$ και $0\leq x\leq dk$ .

Επειδή (k, l)=1

έχουμε πως k|x

, άρα $x=k\cdot t$ , με $0 \leq t \leq d$ .

Άρα η εξίσωση έχει d+1

θετικές ακέραιες λύσεις, δηλαδή (m,n)+1

λύσεις.

edit: Προστέθηκαν κάποιες τετριμμένες περιπτώσεις στην αρχή και διορθώθηκε ένα τυπογραφικό.

harrisp · #6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Νομίζω πως η άσκηση ανήκει καλύτερα στον φάκελο Θεωρίας Αριθμών...

Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και έχει εξίσωση:

$y=\dfrac{n}{m}\cdot x\Leftrightarrow my=nx$

Μας ενδιαφέρει πόσες θετικές ακέραιες λύσεις έχει αυτή η εξίσωση με την προϋπόθεση όμως $0\leq y\leq n$ και $0\leq x\leq m$ (ακόμα και αν τα είναι αρνητικά, μεταφέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα στο τεταρτημόριο έτσι ώστε να έχει την ίδια κλήση).

Έστω . Τότε και , όπου . Η εξίσωση γίνεται:

$my=nx\Leftrightarrow dky=dly\Leftrightarrow ky=lx$ , με συνθήκη $0\geq y\geq dl$ και $0\geq x\geq dk$ .

Επειδή έχουμε πως , άρα $x=k\cdot t$ , με $0 \leq t \leq d$ .

Άρα η εξίσωση έχει θετικές ακέραιες λύσεις, δηλαδή λύσεις.

Διονύση

.

Η πηγή μου έχει μια λύση που ειναι κοντά στην Συνδυαστικη Γεωμετρία αν και εγώ το έλυσα με την εξισωση της ευθείας.

Θα την βάλω οταν εχω χρονο.

Μια Συνδυαστική

Μια Συνδυαστική

Re: Μια Συνδυαστική

Re: Μια Συνδυαστική

Re: Μια Συνδυαστική

Re: Μια Συνδυαστική

Re: Μια Συνδυαστική

Μέλη σε σύνδεση