Ίσες διαδρομές

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσες διαδρομές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 15, 2017 9:38 pm

Ίσες  διαδρομές.png
Ίσες διαδρομές.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές
Η χορδή AB του κύκλου του σχήματος είναι γνωστή , ενώ η ακτίνα όχι. Μπορούμε

να μεταβούμε από το A στο B ακολουθώντας την κόκκινη διαδρομή , ( το M είναι

το μέσο του μικρού τόξου \displaystyle \overset{\frown}{AB} ) . Εναλλακτικά μπορούμε να ακολουθήσουμε

την ίσου μήκους γαλάζια διαδρομή ( το S είναι σημείο του μεγάλου τόξου \displaystyle \overset{\frown}{AB} ) .

Πώς όμως θα εντοπίσουμε τη θέση του σημείου S ; Δεκτές και "εφετζίδικες" λύσεις :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσες διαδρομές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 15, 2017 10:21 pm

Χωρίς λόγια
ισες διαδρομές.png
ισες διαδρομές.png (29.26 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές

η έλλειψη έχει εστίες τα A,B , ενώ ο μεγάλος άξονας έχει μήκος 2MA

Οι υπολογισμοί μετά είναι σχετικά απλοί.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3804
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες διαδρομές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 15, 2017 11:20 pm

KARKAR έγραψε:Ίσες διαδρομές.pngΗ χορδή AB του κύκλου του σχήματος είναι γνωστή , ενώ η ακτίνα όχι. Μπορούμε να μεταβούμε από το A στο B ακολουθώντας την κόκκινη διαδρομή , ( το M είναι το μέσο του μικρού τόξου \displaystyle \overset{\frown}{AB} ) . Εναλλακτικά μπορούμε να ακολουθήσουμε την ίσου μήκους γαλάζια διαδρομή ( το S είναι σημείο του μεγάλου τόξου \displaystyle \overset{\frown}{AB} ) . Πώς όμως θα εντοπίσουμε τη θέση του σημείου S ; Δεκτές και "εφετζίδικες" λύσεις :lol:
Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου για το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AMBS με MA=MB και SA+SB=2MA θα έχουμε:

MA \cdot SB + MA \cdot SA = AB \cdot MS \Rightarrow  \ldots \boxed{MS = \dfrac{{2M{A^2}}}{{AB}}} και έτσι τα σημεία S θα είναι τα σημεία τομής του δοσμένου κύκλου και του \left( M,\dfrac{2M{{A}^{2}}}{AB} \right) τα οποία υπάρχουν αφού \angle AMB>{{90}^{0}}


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσες διαδρομές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 16, 2017 7:42 pm

Ίσες  διαδρομές.png
Ίσες διαδρομές.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές
Η λύση του Νίκου ( αναμενόμενη ! ) είναι από αυτές που που ονόμασα "εφετζίδικες" , διότι

αν το πρόβλημα ήταν πραγματικό , άντε να χαράξεις αυτή την έλλειψη :lol: .

Η λύση του Στάθη είναι πιο "προσγειωμένη" , αλλά απαιτεί τον υπολογισμό του AM

και έμμεσα της ακτίνας ( αφού το MAB θα έχει γνωστές πλευρές ) . Αλλά όπως

έγραψα είναι και οι δύο δεκτές . Προτείνω την παρακάτω λύση : Στην χορδή AB

θεωρώ σημείο P , ώστε MP=\dfrac{AB}{2} . Η MP προεκτεινόμενη , τέμνει

τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο S . α) Δείξτε την ορθότητα της κατασκευής .

β) Μήπως κι αυτή η λύση , έμμεσα θεωρεί γνωστή την ακτίνα ;)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7093
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες διαδρομές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 17, 2017 12:06 pm

Έχω την εντύπωση ότι το S δεν μπορεί να προσδιοριστεί, αφού η ακτίνα του κύκλου είναι μεταβλητή. Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Παρ Μαρ 17, 2017 9:49 pm

george visvikis έγραψε:Έχω την εντύπωση ότι το S δεν μπορεί να προσδιοριστεί, αφού η ακτίνα του κύκλου είναι μεταβλητή. Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Γεια σας
Αν είχαμε την αντίστροφη περίπτωση όπου ο κύκλος είναι σταθερός και η χορδή μεταβάλλεται παραμένοντας παράλληλη σε μία ακτίνα και βρίσκαμε την συνάρτηση του μέτρου της SB θα μας έδινε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων S;
Το παρακάτω αποτελεί μια πρόχειρη σκέψη (μεγάλη η πιθανότητα να είναι λάθος )
Θα επανέλθω με πλήρη εξήγηση αν φυσικά τα καταφέρω.


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Παρ Μαρ 17, 2017 11:13 pm

mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε:Έχω την εντύπωση ότι το S δεν μπορεί να προσδιοριστεί, αφού η ακτίνα του κύκλου είναι μεταβλητή. Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Γεια σας
Αν είχαμε την αντίστροφη περίπτωση όπου ο κύκλος είναι σταθερός και η χορδή μεταβάλλεται παραμένοντας παράλληλη σε μία ακτίνα και βρίσκαμε την συνάρτηση του μέτρου της SB θα μας έδινε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων S;
Το παρακάτω αποτελεί μια πρόχειρη σκέψη (μεγάλη η πιθανότητα να είναι λάθος )
Θα επανέλθω με πλήρη εξήγηση αν φυσικά τα καταφέρω.
Βασικά αν η ΑΒ ήταν σταθερή και έχουμε διαδοχικούς κύκλους με δίαμετρο d\geq AB.Ξεκινάμε με τον κύκλο διαμέτρου d και η διάμετρός του μεγαλώνει με ρυθμόk τότε αν το πεδίο όρασής μας (παρατήρησης) αυξάνεται με τον ίδιο ρυθμό k θα βλέπαμε τον κύκλο να μην μεγαλώνει να παραμένει σταθερός ενώ η χορδή θα μετέβαινε διαδοχικά απο διάμετρος σε ένα σημείο του κύκλου (αυτό που λέω ως αντίστροφη περίπτωση παραπάνω). Άρα o γεωμετρικός τόπος του S θα ήταν το ημικύκλιο MM'
Tώρα μένει να δούμε τι γίνεται αν το πεδίο όρασής μας παρέμενε σταθερό και να συνδυάσουμε τις 2 κινήσεις.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9904
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσες διαδρομές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 18, 2017 8:10 pm

ίσες  διαδρομές.png
ίσες διαδρομές.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές
Επαναφέρω το ερώτημα : Αν το M είναι το μέσο του τόξου της χορδής AB , P σημείο

της χορδής , ώστε : MP=\dfrac{AB}{2} και S το σημείο στο οποίο η ευθεία MP ξανατέμνει

τον κύκλο , δείξτε ότι : AM+MB=AS+SB .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3804
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες διαδρομές

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μαρ 18, 2017 8:46 pm

KARKAR έγραψε:ίσες διαδρομές.pngΕπαναφέρω το ερώτημα : Αν το M είναι το μέσο του τόξου της χορδής AB , P σημείο της χορδής , ώστε : MP=\dfrac{AB}{2} και S το σημείο στο οποίο η ευθεία MP ξανατέμνει τον κύκλο , δείξτε ότι : AM+MB=AS+SB .
Νομίζω ότι μας μαλώνεις Θανάση :lol: . Εντάξει το ξεχάσαμε ! άνθρωποι είμαστε :oops:

Έστω T το αντιδιαμετρικό του M και K\equiv MT\cap AB προφανώς MT μεσοκάθετη της AB (αφού MA=MB ).

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο AMBS \Rightarrow \boxed{MA\left( {SA + SB} \right) = AB \cdot MS}:\left( 1 \right)
[attachment=0]Ισες διαδρομές.png[/attachment]
Από το Θ. τεμνομένων χορδών στο εγγράψιμο KPST \left( \angle MAP=\angle PST={{90}^{0}} \right) θα έχουμε :

MK \cdot MT = MP \cdot MS\mathop  = \limits^{AB = 2MP} \dfrac{{AB}}{2} \cdot MS\mathop  \Rightarrow \limits^{M{A^2} = MK \cdot MT} 2M{A^2} = AB \cdot MS\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

MA\left( {SA + SB} \right) = 2M{A^2} \Rightarrow \boxed{SA + SB = 2MA\mathop  = \limits^{MA = MB} MA + MB} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Ισες διαδρομές.png
Ισες διαδρομές.png (26.9 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Μαρ 18, 2017 11:35 pm

george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3804
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες διαδρομές

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 19, 2017 1:38 am

mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Γεωμετρικός τόπος.png
Γεωμετρικός τόπος.png (16.23 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές
Αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος του S.

Η εξίσωσή του ως προς κάποιο σύστημα συντεταγμένων συναρτήσει μόνο του μήκους της AB δεν ξέρω κατά πόσο μπορεί να βρεθεί :shock:


Θα το δώ αύριο με την "αυγούλα" :)

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Μαρ 19, 2017 10:55 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Γεωμετρικός τόπος.png
Αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος του S.

Η εξίσωσή του ως προς κάποιο σύστημα συντεταγμένων συναρτήσει μόνο του μήκους της AB δεν ξέρω κατά πόσο μπορεί να βρεθεί :shock:


Θα το δώ αύριο με την "αυγούλα" :)

Στάθης
Καλημέρα
Η ακτίνα του κύκλου δεν μεταβάλλεται;


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3804
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες διαδρομές

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 19, 2017 10:57 am

mikemoke έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Γεωμετρικός τόπος.png
Αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος του S.

Η εξίσωσή του ως προς κάποιο σύστημα συντεταγμένων συναρτήσει μόνο του μήκους της AB δεν ξέρω κατά πόσο μπορεί να βρεθεί :shock:


Θα το δώ αύριο με την "αυγούλα" :)

Στάθης
Καλημέρα
Η ακτίνα του κύκλου δεν μεταβάλλεται;
Βεβαίως και μεταβάλλεται (αυτό που βλέπεις είναι ένα στιγμιότυπο για τον "αχνό" συγκεκριμένο κύκλο).

Αν θεωρήσουμε ότι το M μπορεί να βρεθεί και "κάτω" από την AB ο γεωμετρικός τόπος του S θα είναι και το συμμετρικό του σχήματος (κόκκινο) που βλέπεις ως προς την AB


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Μαρ 19, 2017 11:47 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Γεωμετρικός τόπος.png
Αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος του S.

Η εξίσωσή του ως προς κάποιο σύστημα συντεταγμένων συναρτήσει μόνο του μήκους της AB δεν ξέρω κατά πόσο μπορεί να βρεθεί :shock:


Θα το δώ αύριο με την "αυγούλα" :)

Στάθης
Καλημέρα
Η ακτίνα του κύκλου δεν μεταβάλλεται;
Βεβαίως και μεταβάλλεται (αυτό που βλέπεις είναι ένα στιγμιότυπο για τον "αχνό" συγκεκριμένο κύκλο).

Αν θεωρήσουμε ότι το M μπορεί να βρεθεί και "κάτω" από την AB ο γεωμετρικός τόπος του S θα είναι και το συμμετρικό του σχήματος (κόκκινο) που βλέπεις ως προς την AB
A,B,M,S δεν τείνουν να ταυτιστούν καθώς η ακτίνα τείνει στο άπειρο ;


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Μαρ 19, 2017 12:06 pm

mikemoke έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Γεωμετρικός τόπος.png
Αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος του S.

Η εξίσωσή του ως προς κάποιο σύστημα συντεταγμένων συναρτήσει μόνο του μήκους της AB δεν ξέρω κατά πόσο μπορεί να βρεθεί :shock:


Θα το δώ αύριο με την "αυγούλα" :)

Στάθης
Καλημέρα
Η ακτίνα του κύκλου δεν μεταβάλλεται;
Βεβαίως και μεταβάλλεται (αυτό που βλέπεις είναι ένα στιγμιότυπο για τον "αχνό" συγκεκριμένο κύκλο).

Αν θεωρήσουμε ότι το M μπορεί να βρεθεί και "κάτω" από την AB ο γεωμετρικός τόπος του S θα είναι και το συμμετρικό του σχήματος (κόκκινο) που βλέπεις ως προς την AB
A,B,M,S δεν τείνουν να ταυτιστούν καθώς η ακτίνα τείνει στο άπειρο ;
Αυτό που λέω είναι οτι κάθε στιγμιότυπο κύκλων μεταβαλλόμενης ακτίνας και σταθερής χορδής μπορεί να αντιστοιχηθεί με κύκλο σταθερής ακτίνας και μεταβαλλόμενης ακτίνας .Μπορώ να μεταφερθώ από την μία διαδικασία στην άλλη ρυθμίζοντας των ρυθμό του zoom(μεγέθυνσης) όπως περιέγραψα πιο πάνω.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3804
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες διαδρομές

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 19, 2017 12:23 pm

mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Η πιο κάτω είναι η ταπεινή μου άποψη για το πιο πάνω ερώτημα. Τα λογισμικά ας με διαψεύσουν!

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με {x}'x\to AB και {y}'y μεσοκάθετη της AB και ας έστω A\left( a,0 \right),B\left( -a,0 \right),M\left( 0,b \right) .

Θεωρούμε σημείο P\left( {k,0} \right) ώστε: MP = \dfrac{{AB}}{2} \Rightarrow M{P^2} = {a^2} \Rightarrow {b^2} + {k^2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{{b^2} = {a^2} - {k^2}}:\left( 1 \right)

Το κέντρο του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle AMB είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της AM (έστω \left( \varepsilon  \right) ) με τον {y}'y .

Είναι {\lambda _{AM}} =  - \dfrac{b}{a}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \varepsilon  \right) \bot AM} {\lambda _{\left( \varepsilon  \right)}} = \dfrac{a}{b} και με T το μέσο της T\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}} \right) \Rightarrow

\left( \varepsilon  \right):y - \dfrac{b}{2} = \dfrac{a}{b}\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = 0} y - \dfrac{b}{2} =  - \dfrac{{{a^2}}}{{2b}} \Rightarrow {y_K} = \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \Rightarrow \boxed{K\left( {0,\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)}.

Είναι {\lambda _{MP}}\mathop  = \limits^{b \ne a}  - \dfrac{b}{k} \Rightarrow \boxed{MP:y - b =  - \dfrac{b}{k}x}:\left( 2 \right) και αν \left( \eta  \right) είναι η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου K

και είναι κάθετη της MP\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \eta  \right) \bot MP} {\lambda _{\left( \eta  \right)}} = \dfrac{k}{b} \Rightarrow \boxed{\left( \eta  \right):y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x}:\left( 3 \right).
[attachment=0]Ισες διαδρομές 4.png[/attachment]
Αν L\equiv \left( \eta  \right)\cap MP τότε οι συντεταγμένες του L θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right) \to \left( 2 \right) - \left( 1 \right)} \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  b - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \left( {\dfrac{k}{b} + \dfrac{b}{k}} \right)x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{{{k^2} + {b^2}}}{{kb}}x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{{k^2} + {b^2}}} \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{b^2} = {a^2} - {k^2}} \left\{ \begin{gathered} 
  y = b - \dfrac{b}{k} \cdot \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{L\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}}} \right)}:\left( 4 \right)

Αν S\equiv MP\cap \left( K \right)\Rightarrow S είναι το συμμετρικό του M ως προς το L και με βάση την πρόταση

που αποδείχθηκε πιο πάνω από \boxed{MP = \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow MA + MB = SA + SB} και συνεπώς \left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} + {x_M} = 2{x_L} \hfill \\ 
  {y_S} + {y_M} = 2{y_L} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \hfill \\ 
  {y_S} = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}} } \right),k \in \left( { - a,a} \right)}

Δηλαδή ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του S θα είναι η γραμμή με παραμετρικές εξισώσεις \boxed{\left\{ \begin{gathered} 
  x\left( k \right) = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \\  
  y\left( k \right) = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \\  
  k \in \left( { - a,a} \right),a > 0 \\  
\end{gathered}  \right.}.


\bullet Τώρα η απαλοιφή του k και η εύρεση της καρτεσιανής μορφής του γ.τ του S αφήνεται ως πρόβλημα στον αναγνώστη και καλό Πάσχα ! :shock:

\bullet Η πιό πάνω διερεύνηση και κατασκευή αφιερώνεται με μεγάλη εκτίμηση στον αγαπητό μου φίλο Γιώργο Ρίζο ομολογώντας ότι εδώ ο Καρτέσιος μας "έσκισε" :ugeek: εμάς τους εραστές του Ευκλείδη.

Στάθης
Συνημμένα
Ισες διαδρομές 4.png
Ισες διαδρομές 4.png (46.01 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Μαρ 19, 2017 10:37 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Η πιο κάτω είναι η ταπεινή μου άποψη για το πιο πάνω ερώτημα. Τα λογισμικά ας με διαψεύσουν!

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με {x}'x\to AB και {y}'y μεσοκάθετη της AB και ας έστω A\left( a,0 \right),B\left( -a,0 \right),M\left( 0,b \right) .

Θεωρούμε σημείο P\left( {k,0} \right) ώστε: MP = \dfrac{{AB}}{2} \Rightarrow M{P^2} = {a^2} \Rightarrow {b^2} + {k^2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{{b^2} = {a^2} - {k^2}}:\left( 1 \right)

Το κέντρο του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle AMB είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της AM (έστω \left( \varepsilon  \right) ) με τον {y}'y .

Είναι {\lambda _{AM}} =  - \dfrac{b}{a}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \varepsilon  \right) \bot AM} {\lambda _{\left( \varepsilon  \right)}} = \dfrac{a}{b} και με T το μέσο της T\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}} \right) \Rightarrow

\left( \varepsilon  \right):y - \dfrac{b}{2} = \dfrac{a}{b}\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = 0} y - \dfrac{b}{2} =  - \dfrac{{{a^2}}}{{2b}} \Rightarrow {y_K} = \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \Rightarrow \boxed{K\left( {0,\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)}.

Είναι {\lambda _{MP}}\mathop  = \limits^{b \ne a}  - \dfrac{b}{k} \Rightarrow \boxed{MP:y - b =  - \dfrac{b}{k}x}:\left( 2 \right) και αν \left( \eta  \right) είναι η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου K

και είναι κάθετη της MP\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \eta  \right) \bot MP} {\lambda _{\left( \eta  \right)}} = \dfrac{k}{b} \Rightarrow \boxed{\left( \eta  \right):y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x}:\left( 3 \right).
Ισες διαδρομές 4.png
Αν L\equiv \left( \eta  \right)\cap MP τότε οι συντεταγμένες του L θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right) \to \left( 2 \right) - \left( 1 \right)} \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  b - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \left( {\dfrac{k}{b} + \dfrac{b}{k}} \right)x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{{{k^2} + {b^2}}}{{kb}}x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{{k^2} + {b^2}}} \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{b^2} = {a^2} - {k^2}} \left\{ \begin{gathered} 
  y = b - \dfrac{b}{k} \cdot \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{L\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}}} \right)}:\left( 4 \right)

Αν S\equiv MP\cap \left( K \right)\Rightarrow S είναι το συμμετρικό του M ως προς το L και με βάση την πρόταση

που αποδείχθηκε πιο πάνω από \boxed{MP = \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow MA + MB = SA + SB} και συνεπώς \left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} + {x_M} = 2{x_L} \hfill \\ 
  {y_S} + {y_M} = 2{y_L} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \hfill \\ 
  {y_S} = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}} } \right),k \in \left( { - a,a} \right)}

Δηλαδή ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του S θα είναι η γραμμή με παραμετρικές εξισώσεις \boxed{\left\{ \begin{gathered} 
  x\left( k \right) = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \\  
  y\left( k \right) = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \\  
  k \in \left( { - a,a} \right),a > 0 \\  
\end{gathered}  \right.}.


\bullet Τώρα η απαλοιφή του k και η εύρεση της καρτεσιανής μορφής του γ.τ του S αφήνεται ως πρόβλημα στον αναγνώστη και καλό Πάσχα ! :shock:

\bullet Η πιό πάνω διερεύνηση και κατασκευή αφιερώνεται με μεγάλη εκτίμηση στον αγαπητό μου φίλο Γιώργο Ρίζο ομολογώντας ότι εδώ ο Καρτέσιος μας "έσκισε" :ugeek: εμάς τους εραστές του Ευκλείδη.

Στάθης
Οι κύκλοι μεταβάλονται. Η λύση αναφέρεται σε ένα στιγμιότυπο.
Νομίζω οτι η γραμμή πρέπει να παρουσιάζει ασύμπτωτες στις κάθετες της AB από τα A,B
Συνημμένα
Ne.png
Ne.png (105.67 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3804
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες διαδρομές

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 19, 2017 10:50 pm

mikemoke έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Η πιο κάτω είναι η ταπεινή μου άποψη για το πιο πάνω ερώτημα. Τα λογισμικά ας με διαψεύσουν!

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με {x}'x\to AB και {y}'y μεσοκάθετη της AB και ας έστω A\left( a,0 \right),B\left( -a,0 \right),M\left( 0,b \right) .

Θεωρούμε σημείο P\left( {k,0} \right) ώστε: MP = \dfrac{{AB}}{2} \Rightarrow M{P^2} = {a^2} \Rightarrow {b^2} + {k^2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{{b^2} = {a^2} - {k^2}}:\left( 1 \right)

Το κέντρο του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle AMB είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της AM (έστω \left( \varepsilon  \right) ) με τον {y}'y .

Είναι {\lambda _{AM}} =  - \dfrac{b}{a}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \varepsilon  \right) \bot AM} {\lambda _{\left( \varepsilon  \right)}} = \dfrac{a}{b} και με T το μέσο της T\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}} \right) \Rightarrow

\left( \varepsilon  \right):y - \dfrac{b}{2} = \dfrac{a}{b}\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = 0} y - \dfrac{b}{2} =  - \dfrac{{{a^2}}}{{2b}} \Rightarrow {y_K} = \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \Rightarrow \boxed{K\left( {0,\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)}.

Είναι {\lambda _{MP}}\mathop  = \limits^{b \ne a}  - \dfrac{b}{k} \Rightarrow \boxed{MP:y - b =  - \dfrac{b}{k}x}:\left( 2 \right) και αν \left( \eta  \right) είναι η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου K

και είναι κάθετη της MP\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \eta  \right) \bot MP} {\lambda _{\left( \eta  \right)}} = \dfrac{k}{b} \Rightarrow \boxed{\left( \eta  \right):y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x}:\left( 3 \right).
Ισες διαδρομές 4.png
Αν L\equiv \left( \eta  \right)\cap MP τότε οι συντεταγμένες του L θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right) \to \left( 2 \right) - \left( 1 \right)} \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  b - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \left( {\dfrac{k}{b} + \dfrac{b}{k}} \right)x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{{{k^2} + {b^2}}}{{kb}}x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{{k^2} + {b^2}}} \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{b^2} = {a^2} - {k^2}} \left\{ \begin{gathered} 
  y = b - \dfrac{b}{k} \cdot \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{L\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}}} \right)}:\left( 4 \right)

Αν S\equiv MP\cap \left( K \right)\Rightarrow S είναι το συμμετρικό του M ως προς το L και με βάση την πρόταση

που αποδείχθηκε πιο πάνω από \boxed{MP = \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow MA + MB = SA + SB} και συνεπώς \left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} + {x_M} = 2{x_L} \hfill \\ 
  {y_S} + {y_M} = 2{y_L} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \hfill \\ 
  {y_S} = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}} } \right),k \in \left( { - a,a} \right)}

Δηλαδή ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του S θα είναι η γραμμή με παραμετρικές εξισώσεις \boxed{\left\{ \begin{gathered} 
  x\left( k \right) = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \\  
  y\left( k \right) = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \\  
  k \in \left( { - a,a} \right),a > 0 \\  
\end{gathered}  \right.}.


\bullet Τώρα η απαλοιφή του k και η εύρεση της καρτεσιανής μορφής του γ.τ του S αφήνεται ως πρόβλημα στον αναγνώστη και καλό Πάσχα ! :shock:

\bullet Η πιό πάνω διερεύνηση και κατασκευή αφιερώνεται με μεγάλη εκτίμηση στον αγαπητό μου φίλο Γιώργο Ρίζο ομολογώντας ότι εδώ ο Καρτέσιος μας "έσκισε" :ugeek: εμάς τους εραστές του Ευκλείδη.

Στάθης
Οι κύκλοι μεταβάλονται. Η λύση αναφέρεται σε ένα στιγμιότυπο.
Νομίζω οτι η γραμμή πρέπει να παρουσιάζει ασύμπτωτες στις κάθετες της AB από τα A,B
Εγω δεν έχω να πω τίποτα περισσότερο , τίποτα λιγότερο! :?

Θα με ενδιέφεραι όμως και η δική σου απάντηση την οποια δεν βλέπω παρότι η ερώτηση είναι δική σου.

Τώρα αν πιστεύεις ότι ένα στυγμιότυπο (δηλαδή συγκεκριμένος κύκλος) θα δώσει άπειρα S (δηλαδή τις κόκκινες γραμμές) στο συγκεκριμένο πρόβλημα τότε μάλλον εγώ πρέπει να αλλάξω δουλειά έστω και στα γεράματα! :play_ball:

Πάντα φιλικά!
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Μαρ 19, 2017 11:00 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Η πιο κάτω είναι η ταπεινή μου άποψη για το πιο πάνω ερώτημα. Τα λογισμικά ας με διαψεύσουν!

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με {x}'x\to AB και {y}'y μεσοκάθετη της AB και ας έστω A\left( a,0 \right),B\left( -a,0 \right),M\left( 0,b \right) .

Θεωρούμε σημείο P\left( {k,0} \right) ώστε: MP = \dfrac{{AB}}{2} \Rightarrow M{P^2} = {a^2} \Rightarrow {b^2} + {k^2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{{b^2} = {a^2} - {k^2}}:\left( 1 \right)

Το κέντρο του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle AMB είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της AM (έστω \left( \varepsilon  \right) ) με τον {y}'y .

Είναι {\lambda _{AM}} =  - \dfrac{b}{a}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \varepsilon  \right) \bot AM} {\lambda _{\left( \varepsilon  \right)}} = \dfrac{a}{b} και με T το μέσο της T\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}} \right) \Rightarrow

\left( \varepsilon  \right):y - \dfrac{b}{2} = \dfrac{a}{b}\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = 0} y - \dfrac{b}{2} =  - \dfrac{{{a^2}}}{{2b}} \Rightarrow {y_K} = \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \Rightarrow \boxed{K\left( {0,\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)}.

Είναι {\lambda _{MP}}\mathop  = \limits^{b \ne a}  - \dfrac{b}{k} \Rightarrow \boxed{MP:y - b =  - \dfrac{b}{k}x}:\left( 2 \right) και αν \left( \eta  \right) είναι η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου K

και είναι κάθετη της MP\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \eta  \right) \bot MP} {\lambda _{\left( \eta  \right)}} = \dfrac{k}{b} \Rightarrow \boxed{\left( \eta  \right):y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x}:\left( 3 \right).
Ισες διαδρομές 4.png
Αν L\equiv \left( \eta  \right)\cap MP τότε οι συντεταγμένες του L θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right) \to \left( 2 \right) - \left( 1 \right)} \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  b - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \left( {\dfrac{k}{b} + \dfrac{b}{k}} \right)x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{{{k^2} + {b^2}}}{{kb}}x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{{k^2} + {b^2}}} \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{b^2} = {a^2} - {k^2}} \left\{ \begin{gathered} 
  y = b - \dfrac{b}{k} \cdot \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{L\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}}} \right)}:\left( 4 \right)

Αν S\equiv MP\cap \left( K \right)\Rightarrow S είναι το συμμετρικό του M ως προς το L και με βάση την πρόταση

που αποδείχθηκε πιο πάνω από \boxed{MP = \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow MA + MB = SA + SB} και συνεπώς \left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} + {x_M} = 2{x_L} \hfill \\ 
  {y_S} + {y_M} = 2{y_L} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \hfill \\ 
  {y_S} = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}} } \right),k \in \left( { - a,a} \right)}

Δηλαδή ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του S θα είναι η γραμμή με παραμετρικές εξισώσεις \boxed{\left\{ \begin{gathered} 
  x\left( k \right) = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \\  
  y\left( k \right) = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \\  
  k \in \left( { - a,a} \right),a > 0 \\  
\end{gathered}  \right.}.


\bullet Τώρα η απαλοιφή του k και η εύρεση της καρτεσιανής μορφής του γ.τ του S αφήνεται ως πρόβλημα στον αναγνώστη και καλό Πάσχα ! :shock:

\bullet Η πιό πάνω διερεύνηση και κατασκευή αφιερώνεται με μεγάλη εκτίμηση στον αγαπητό μου φίλο Γιώργο Ρίζο ομολογώντας ότι εδώ ο Καρτέσιος μας "έσκισε" :ugeek: εμάς τους εραστές του Ευκλείδη.

Στάθης
Οι κύκλοι μεταβάλονται. Η λύση αναφέρεται σε ένα στιγμιότυπο.
Νομίζω οτι η γραμμή πρέπει να παρουσιάζει ασύμπτωτες στις κάθετες της AB από τα A,B
Εγω δεν έχω να πω τίποτα περισσότερο , τίποτα λιγότερο! :?

Θα με ενδιέφεραι όμως και η δική σου απάντηση την οποια δεν βλέπω παρότι η ερώτηση είναι δική σου.

Τώρα αν πιστεύεις ότι ένα στυγμιότυπο (δηλαδή συγκεκριμένος κύκλος) θα δώσει άπειρα S (δηλαδή τις κόκκινες γραμμές) στο συγκεκριμένο πρόβλημα τότε μάλλον εγώ πρέπει να αλλάξω δουλειά έστω και στα γεράματα! :play_ball:

Πάντα φιλικά!
Στάθης
Δεν αναφέρομαι σε ένα στιγμιότυπο αλλά σε όλα . Με άλλα λόγια ψάχνω την διαδρομή που ακολουθεί το S καθώς οι κύκλοι μεταβάλονται-μεγαλώνουν.Το S κάθε φορά είναι σημείο διαφορετικών κύκλων όπως φένεται και στο σχήμα απο πάνω
Ο λόγος που δεν ανεβάζω κάποια λύση είναι επειδή είναι ακόμα σε επεξεργασία.


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ίσες διαδρομές

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Μαρ 19, 2017 11:32 pm

mikemoke έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
george visvikis έγραψε: Ενδιαφέρον θα είχε αν μπορούσε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του S με μόνο σταθερό στοιχείο τη χορδή AB.
Επαναφορά υποερωτήματος
Η πιο κάτω είναι η ταπεινή μου άποψη για το πιο πάνω ερώτημα. Τα λογισμικά ας με διαψεύσουν!

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με {x}'x\to AB και {y}'y μεσοκάθετη της AB και ας έστω A\left( a,0 \right),B\left( -a,0 \right),M\left( 0,b \right) .

Θεωρούμε σημείο P\left( {k,0} \right) ώστε: MP = \dfrac{{AB}}{2} \Rightarrow M{P^2} = {a^2} \Rightarrow {b^2} + {k^2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{{b^2} = {a^2} - {k^2}}:\left( 1 \right)

Το κέντρο του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle AMB είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της AM (έστω \left( \varepsilon  \right) ) με τον {y}'y .

Είναι {\lambda _{AM}} =  - \dfrac{b}{a}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \varepsilon  \right) \bot AM} {\lambda _{\left( \varepsilon  \right)}} = \dfrac{a}{b} και με T το μέσο της T\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}} \right) \Rightarrow

\left( \varepsilon  \right):y - \dfrac{b}{2} = \dfrac{a}{b}\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = 0} y - \dfrac{b}{2} =  - \dfrac{{{a^2}}}{{2b}} \Rightarrow {y_K} = \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \Rightarrow \boxed{K\left( {0,\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)}.

Είναι {\lambda _{MP}}\mathop  = \limits^{b \ne a}  - \dfrac{b}{k} \Rightarrow \boxed{MP:y - b =  - \dfrac{b}{k}x}:\left( 2 \right) και αν \left( \eta  \right) είναι η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου K

και είναι κάθετη της MP\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( \eta  \right) \bot MP} {\lambda _{\left( \eta  \right)}} = \dfrac{k}{b} \Rightarrow \boxed{\left( \eta  \right):y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x}:\left( 3 \right).
Ισες διαδρομές 4.png
Αν L\equiv \left( \eta  \right)\cap MP τότε οι συντεταγμένες του L θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  y - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{k}{b}x \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right) \to \left( 2 \right) - \left( 1 \right)} \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  b - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} = \left( {\dfrac{k}{b} + \dfrac{b}{k}} \right)x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{2b}} = \dfrac{{{k^2} + {b^2}}}{{kb}}x \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  y - b =  - \dfrac{b}{k}x \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{{{k^2} + {b^2}}} \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{b^2} = {a^2} - {k^2}} \left\{ \begin{gathered} 
  y = b - \dfrac{b}{k} \cdot \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{k}{2} \cdot \dfrac{{2{a^2} - {k^2}}}{{{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}} \\  
  x = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}} \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{L\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{2{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{2{a^2}}}} \right)}:\left( 4 \right)

Αν S\equiv MP\cap \left( K \right)\Rightarrow S είναι το συμμετρικό του M ως προς το L και με βάση την πρόταση

που αποδείχθηκε πιο πάνω από \boxed{MP = \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow MA + MB = SA + SB} και συνεπώς \left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} + {x_M} = 2{x_L} \hfill \\ 
  {y_S} + {y_M} = 2{y_L} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow

\left\{ \begin{gathered} 
  {x_S} = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \hfill \\ 
  {y_S} = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}},\dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}} } \right),k \in \left( { - a,a} \right)}

Δηλαδή ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του S θα είναι η γραμμή με παραμετρικές εξισώσεις \boxed{\left\{ \begin{gathered} 
  x\left( k \right) = \dfrac{{2{a^2}k - {k^3}}}{{{a^2}}} \\  
  y\left( k \right) = \dfrac{{{k^2}\sqrt {{a^2} - {k^2}} }}{{{a^2}}} - \sqrt {{a^2} - {k^2}}  \\  
  k \in \left( { - a,a} \right),a > 0 \\  
\end{gathered}  \right.}.


\bullet Τώρα η απαλοιφή του k και η εύρεση της καρτεσιανής μορφής του γ.τ του S αφήνεται ως πρόβλημα στον αναγνώστη και καλό Πάσχα ! :shock:

\bullet Η πιό πάνω διερεύνηση και κατασκευή αφιερώνεται με μεγάλη εκτίμηση στον αγαπητό μου φίλο Γιώργο Ρίζο ομολογώντας ότι εδώ ο Καρτέσιος μας "έσκισε" :ugeek: εμάς τους εραστές του Ευκλείδη.

Στάθης
Οι κύκλοι μεταβάλονται. Η λύση αναφέρεται σε ένα στιγμιότυπο.
Νομίζω οτι η γραμμή πρέπει να παρουσιάζει ασύμπτωτες στις κάθετες της AB από τα A,B
Εγω δεν έχω να πω τίποτα περισσότερο , τίποτα λιγότερο! :?

Θα με ενδιέφεραι όμως και η δική σου απάντηση την οποια δεν βλέπω παρότι η ερώτηση είναι δική σου.

Τώρα αν πιστεύεις ότι ένα στυγμιότυπο (δηλαδή συγκεκριμένος κύκλος) θα δώσει άπειρα S (δηλαδή τις κόκκινες γραμμές) στο συγκεκριμένο πρόβλημα τότε μάλλον εγώ πρέπει να αλλάξω δουλειά έστω και στα γεράματα! :play_ball:

Πάντα φιλικά!
Στάθης
Δεν αναφέρομαι σε ένα στιγμιότυπο αλλά σε όλα . Με άλλα λόγια ψάχνω την διαδρομή που ακολουθεί το S καθώς οι κύκλοι μεταβάλονται-μεγαλώνουν.Το S κάθε φορά είναι σημείο διαφορετικών κύκλων όπως φένεται και στο σχήμα απο πάνω
Ο λόγος που δεν ανεβάζω κάποια λύση είναι επειδή είναι ακόμα σε επεξεργασία.
Αλλά έχω κάνει μερικές σκέψεις πιο πάνω (6η,7η) που παραμένουν ασχολίαστες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες