Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

harrisp · #1

Επειδη τα δύο τελευταία θέματα συνδυαςτικης που ανέβασα δεν ηταν και πολυ ωραια θα ανταποδώσω εις διπλούν με αυτο το πανέμορφο κατα την προσωπική μου αποψη θεμα. Ας το αφήσουμε μέχρι αύριο για τους μαθητές

Να αποδείξετε οτι καθε πολύγωνο με

κορυφές εχει δυο διαγώνιους που σχηματίζουν γωνία μικρότερη της 1^o

.

ΥΓ. Επειδη είναι ωραίο θέμα θα ήθελα ολοκληρωμένη λύση.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Αν δύο διαγώνιοι είναι παράλληλες, θεωρούμε πως έχουν γωνία 0^o

;

harrisp · #3

Ναι.

Friedoon · #4

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επειδη τα δύο τελευταία θέματα συνδυαςτικης που ανέβασα δεν ηταν και πολυ ωραια θα ανταποδώσω εις διπλούν με αυτο το πανέμορφο κατα την προσωπική μου αποψη θεμα. Ας το αφήσουμε μέχρι αύριο για τους μαθητές

Να αποδείξετε οτι καθε πολύγωνο με κορυφές εχει δυο διαγώνιους που σχηματίζουν γωνία μικρότερη της .

ΥΓ. Επειδη είναι ωραίο θέμα θα ήθελα ολοκληρωμένη λύση.

Κάθε

έχει $\dfrac{n(n-3)}{2}$ διαγωνίους. Αν από κάποιο σημείο φέρουμε παράλληλες προς κάθε διαγώνιο δημιουργούμε n(n-3)

γωνίες με άθροισμα 360

μοίρες.Όμως για n=21

έχουμε

άρα από περιστεροφωλιά τουλάχιστον μία γωνία θα είναι μικρότερη της

μοίρας.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

Το πλήθος των διαγωνίων ενός κυρτού

-γώνου είναι $\binom{21}{2}-21=189$ (Αυτό ισχύει επειδή κάθε διαγώνιος προκύπτει παίρνοντας ανά δύο όλες τις κορυφές του

-γώνου, αφαιρούμε όμως μετά τις περιπτώσεις που οι "διαγώνιοι" είναι πλευρές του

-γώνου).

Φέρνουμε από την κάθε διαγώνιο παράλληλη που να περνάει από από ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου.

Προφανώς σχηματίζονται 378

διαδοχικές γωνίες (γιατί έχουμε και τις κατακορυφείν γωνίες), κάθε μια από τις οποίες είναι ίση με μια από τις γωνίες που σχηματίζουν οι διαγώνιοι.

Όμως το άθροισμα όλων αυτών των γωνιών είναι 360^o

, άρα σίγουρα θα υπάρχει μια γωνία που είναι μικρότερη της 1^o

(διαφορετικά το άθροισμα των γωνιών θα ήταν μεγαλύτερο από 360^o

, άτοπο).

Η γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοι που αντιστοιχεί στην παραπάνω γωνία είναι μικρότερη από 1^o

.

Βλέπω με ότι πρόλαβαν...

harrisp · #6

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #7

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Να αποδείξετε οτι καθε πολύγωνο με κορυφές εχει δυο διαγώνιους που σχηματίζουν γωνία μικρότερη της .

Είδαμε ένα παρόμοιο κι εδώ

Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Re: Διαγώνιοι σε κυρτό πολύγωνο.

Μέλη σε σύνδεση