Διαγωνιστική

KARKAR · #1

Με εντυπωσίασε και τη μεταφέρω ( από αμερικάνικο διαγωνισμό )

Suppose f(x)

is a function from real numbers to real numbers such that :

$\lim\limits_{x→∞} (f(x + 1) − f(x)) = L$

and $\lim\limits_{x→∞} \dfrac{f(x)}{x}= M$

Prove that : L = M.

dement · #2

Πράγματι όμορφη!

Ορίζουμε τις ακολουθίες $a_n \equiv f(n)$ και $b_n \equiv n$ . Ισχύει ότι η (b_n)

είναι γνησίως αύξουσα με $\lim b_n = + \infty$ και $\displaystyle \lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L$ , οπότε από το θεώρημα Stolz-Cesàro έχουμε $\displaystyle \lim \frac{a_n}{b_n} = \lim \frac{f(n)}{n} = L$ .

Έτσι, αφού $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = M$ , ισχύει L = M

.

Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.

Τροβαδούρος · #3

Το πρόβλημα νομίζω εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Cauchy ,Cours d' Analyse de l' Ecole Polytechnique το 1821.(Έτσι τουλάχιστον αναφέρει ο κ.Ρασσιάς στο βιβλίο μαθηματική ανάλυση Ι).

Tolaso J Kos · #4

Μία παρατηρήση: Το f(x)

είναι η τιμή της

στο

ενώ η

είναι η ίδια η συνάρτηση. Ίσως το κομμάτι αυτό θέλει μία διόρθωση.

KARKAR έγραψε:Με εντυπωσίασε και τη μεταφέρω ( από αμερικάνικο διαγωνισμό )

Suppose is a function from real numbers to real numbers such that :

$\lim\limits_{x→∞} (f(x + 1) − f(x)) = L$

and $\lim\limits_{x→∞} \dfrac{f(x)}{x}= M$

Prove that :

Μετάφραση: Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ μία συνάρτηση τέτοια ώστε
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \bigg( f(x+1) - f(x) \bigg) = L \quad \text{\gr και} \quad \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = M}$ Δείξατε ότι L=M

.

#5

dement έγραψε: Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.

Θέτουμε στους άρτιους f(2n)=1

και

αν $x \ne 2n$ .

Τότε $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0}$ αλλά το f(x+1) - f(x)

δεν έχει όριο στο άπειρο καθώς παίρνει αενάως τις τιμές $1-0=1, \, 0-0=0$ και 0-1=-1

.

AlexandrosG · #6

Δείτε και εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Ενα πιο 'καλό' παράδειγμα είναι το
$f(x)=x+\sin x\frac{\pi }{2}$

Το πρόβλημα σε μένα είναι γνωστό.

Το γενικότερο είναι:
Εστω $f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$
η οποία είναι φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.

Δηλαδή για a< b

υπάρχει

ώστε
$x\in [a,b]\Rightarrow \left | f(x) \right |\leq m$

Αν $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x+1)-f(x)=L$
τότε το υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x}$
και είναι ίσο με

Να σημειώσω οι αν $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x}=M,M\in \mathbb{R}$
τότε η

είναι από κάπου και πέρα φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.

Δηλαδή για c<a< b

όπου

σταθερά υπάρχει m=m(a,b)

ώστε
$x\in [a,b]\Rightarrow \left | f(x) \right |\leq m$ .

Διαγωνιστική

Διαγωνιστική

Re: Διαγωνιστική

Re: Διαγωνιστική

Re: Διαγωνιστική

Re: Διαγωνιστική

Re: Διαγωνιστική

Re: Διαγωνιστική

Μέλη σε σύνδεση