Χαλαρό

erxmer · #1

Αν ισχύει $f(x)-y^2 \leq f(x+y) \leq f(x)+y^2,x,y \in R$ τότε:

1) Ν.δ.ο. η

σταθερή στο

.

2) Αν το εμβαδό που περικλείεται από C_f,xx', x=1,x=3

είναι 8 τ.μ. να βρεθεί η

.

3) Αν g''(x)=f(x),g''(x)>0

, η εφαπτομένη της C_g

στο σημείο (0,g(0))

σχηματίζει με τον xx'

γωνία

$\frac{\pi}{4}$ και η C_g

διέρχεται από το (1,7)

. Να βρείτε τη

.

4) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{a}^{1}\frac{|f(x)|}{\left [ g(x) \right ]^{2017}}, a=\lim_{x \to +\infty}\left (\sqrt{x^2+2018}-x \right )}$ .

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Αν ισχύει $f(x)-y^2 \leq f(x+y) \leq f(x)+y^2,x,y \in R$ τότε:

1) Ν.δ.ο. η σταθερή στο .

2) Αν το εμβαδό που περικλείεται από είναι 8 τ.μ. να βρεθεί η .

3) Αν , η εφαπτομένη της στο σημείο σχηματίζει με τον γωνία

$\frac{\pi}{4}$ και η διέρχεται από το . Να βρείτε τη .

4) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\int_{0}^{a}\frac{|f(x)|}{\left [ g(x) \right ]^{2017}}, a=\lim_{x \to +\infty}\left (\sqrt{x^2+2018}-x \right )}$ .

Καλημέρα. Μια προσπάθεια ...
1) Θέτοντας στην δοθείσα σχέση όπου y = h

, έχουμε : $f(x)-h^2 \leq f(x+h) \leq f(x)+h^2$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $-h^2 \leq f(x+y) -f(x) \leq h$ (1)

Για h>0

η (1) ισοδυνάμως γράφεται : $-h \leq \dfrac{f(x+h)-f(h)}{h}\leq h$ .

Όμως $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{+}}(-h)=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}h = 0$ .

Άρα από Κριτήριο Παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x+h)-f(h)}{h}= 0$ .

Όμοίως για h<0

, είναι $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(x+h)-f(h)}{h}= 0$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι f'(x) = 0

άρα

2) Είναι $\displaystyle{\int_{1}^{3}|f(x)|dx = \int_{1}^{3}|c|dx = |c|\int_{1}^{3}x'dx = 2|c|$ .
Συνεπώς |c|=4

. Άρα

ή

.

3) Ισχύει g''(x)=f(x)>0

οπότε

Αφού η εφαπτομένη της C_g

στο σημείο (0,g(0))

σχηματίζει με τον xx'

γωνία $\dfrac{\pi}{4}$ συμπεραίνουμε $g'(0)= \tan \dfrac{\pi}{4} = 1$ .

Τώρα από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ ισχύει $g'(x)=4x+c_{1}$ και επειδή g'(0) = 1

, $c_{1} =1$ .
Άρα g'(x) = 4x + 1

.

Επίσης από Πόρισμα Συνεπειών ΘΜΤ ισχύει $g(x)=2x^2 +x+ c_{2}$ και επειδή g(1) = 7

, $c_{2} =4$ .
Τελικά g(x) = 2x^2 +x+ 4

.

4) Τώρα για το ερώτημα αυτό το όριο μου προκύπτει μηδέν , οπότε το ολοκλήρωμα τετριμμένο.
Συγνώμη αν κάτι δεν βλέπω...

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Χαλαρό

Χαλαρό

Re: Χαλαρό

Μέλη σε σύνδεση