Φανταστικό ... αποτέλεσμα

Tolaso J Kos · #1

Προέκυψε εντελώς τυχαία.

Δείξατε ότι
$\displaystyle{\int_{-\infty}^{0} e^x \log^2 x \, {\rm d}x=\gamma^2 -2 i \gamma \pi -\frac{5\pi^2}{6}}$ όπου $\gamma$ η σταθερά των Euler - Mascheroni.

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Δείξατε ότι $\displaystyle{\int_{-\infty}^{0} e^x \log^2 x \, {\rm d}x=\gamma^2 -2 i \gamma \pi -\frac{5\pi^2}{6}}$ όπου $\gamma$ η σταθερά των Euler - Mascheroni.

Θεωρούμε γνωστούς τους μετασχηματισμούς Laplace http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/i ... place5.pdf :

$\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - s \cdot x}}dx} = - \frac{{\log s + \gamma }}{s}}$ και $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {{{\log }^2}x \cdot {e^{ - s \cdot x}}dx} = \frac{1}{s}\left( {{{\left( {\log s + \gamma } \right)}^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{6}} \right)}$

Επομένως $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x}}dx} = - \gamma }$ και $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {{{\log }^2}x \cdot {e^{ - x}}dx} = {\gamma ^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{6}}$

Τότε

$\displaystyle{\int\limits_{ - \infty }^0 {{e^x}{{\log }^2}\left( x \right)dx} \mathop { = = = }\limits^{x = - y} \int\limits_0^\infty {{e^{ - x}}{{\log }^2}\left( { - x} \right)dx} = \int\limits_0^\infty {{e^{ - x}}{{\log }^2}\left( {x \cdot {e^{i \cdot \pi }}} \right)dx} = \int\limits_0^\infty {{e^{ - x}}{{\left( {\log x + i \cdot \pi } \right)}^2}dx} = }$

$\displaystyle{ = \int\limits_0^\infty {{e^{ - x}}{{\log }^2}\left( x \right)dx} - {\pi ^2}\int\limits_0^\infty {{e^{ - x}}dx} + 2 \cdot i \cdot \pi \int\limits_0^\infty {{e^{ - x}}\log \left( x \right)dx} = {\gamma ^2} - \frac{{5{\pi ^2}}}{6} - 2 \cdot i \cdot \pi \cdot \gamma }$

Φανταστικό ... αποτέλεσμα

Φανταστικό ... αποτέλεσμα

Re: Φανταστικό ... αποτέλεσμα

Μέλη σε σύνδεση