Ασύμπτωτη παραγώγου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$

Θεωρούμε το $A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}$

και την $g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει

ώστε η

να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.

mikemoke · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$

Θεωρούμε το $A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}$

και την $g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει ώστε η να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.

Θα μπορούσε να είναι η f(x)=ax+c

με $a\rightarrow 0$ ;

#3

mikemoke έγραψε: Θα μπορούσε να είναι η με $a\rightarrow 0$ ;

Δεν έχει νόημα αυτό: Η συνάρτηση πρέπει να είναι μία (ένα

, όχι άπειρα και μεταβαλόμενα). Όπως και να είναι, ως ευθεία ικανοποιεί μόνο μία από τις συνθήκες

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$

Θεωρούμε το $A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}$

και την $g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει ώστε η να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.

Να διευκολύνω γιατί τέτοια ερωτήματα είναι αποτρεπτικά μιας και δεν ξέρουμε
αν θα πρέπει να την κατασκευάσουμε
η να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει.

Η απάντηση είναι ότι υπάρχει. Το πρόβλημα είναι να κατασκευασθεί μία.

mikemoke · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$

Θεωρούμε το $A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}$

και την $g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει ώστε η να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.

Aπό $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$ προκύπτει
$\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=-\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)$
και απο ότι η

δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη προκύπτει
g(xo)

$\neq+-\infty$ άρα $f'(xo)\neq 0$
Θα μπορούσατε να επισημάνετε το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;(γιατί αφού υπάρχει η f(x)

τα παραπάνω δεν ισχύουν)

#6

mikemoke έγραψε: Aπό $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$ προκύπτει
$\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=-\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)$

Δεν αληθεύει. Για παράδειγμα η f(x) = 4x

αν $x\ge 1$ και f(x)= -8x

αν $x\le -1$ και f(x)

ίσον οτιδήποτε στο ενδιάμεσο [-1,1]

ώστε να είναι παραγωγίσιμη (για παράδειγμα f(x)=-x^3+3x^2+x-3

) ικανοποιεί

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$

πλην όμως

$\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)= 4 \ne 8 =-\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Aπό $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$ προκύπτει
$\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=-\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)$

Απάντηση
Δεν προκύπτει.Πάρε
$f(x)=x^{2}(1+(\sin x)^{2})$
τα όρια των παραγώγων δεν υπάρχουν

και απο ότι η

δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη προκύπτει
g(xo)

$\neq+-\infty$ άρα $f'(xo)\neq 0$
Θα μπορούσατε να επισημάνετε το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;(γιατί αφού υπάρχει η f(x)

τα παραπάνω δεν ισχύουν)

Απάντηση
Για να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη μια συνάρτηση σε ένα σημείο που δεν ορίζεται έστω

θα πρέπει κανένα από τα $\lim_{x\rightarrow a^{+}}g(x),\lim_{x\rightarrow a^{-}}g(x)$
να μην είναι $+\infty ,-\infty$
Στην συνάρτηση που ισχυρίζομαι ότι υπάρχει αυτά τα όρια δεν υπάρχουν οπότε δεν μπορεί να είναι $+\infty ,-\infty$
Θα είναι επίσης f'(a)=0

για να μην ορίζεται εκεί η

ώστε να έχουμε το δικαίωμα να μιλάμε για ασύμπτωτη της

στο

Αν και βλέπω ότι απάντησε ο Μιχάλης το αφήνω γιατί από όσο πρόλαβα να δω είναι διαφορετικό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$

Θεωρούμε το $A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}$

και την $g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει ώστε η να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.

Επειδή κάποιοι ανυπομονούν θα γράψω τα βήματα της κατασκευής συνάρτησης

ώστε
η

να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Βήμα 1
Φτιάχνουμε $h:[0,b]\rightarrow \mathbb{R}$ όπου b> 0

με τις ιδιότητες

α) h(0)=h'(0)=0

β) $x\in (0,b]\Rightarrow h'(x)> 0$

γ)Το $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}h'(x)$ δεν υπάρχει.

(Απόδειξη αύριο γιατί θέλει πολύ γράψιμο)

Βήμα 2
Παίρνουμε $H:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με H(x)=h(x)

για ) $x\in [0,b]$

και H(x)=h(b)+h'(b)(x-b)

για $x\in (b,\infty )$

Βήμα 3
Θέτουμε f(x)=H(x)

για $x\geq 0$

και f(x)=H(-x)

για

Είναι σαφές ότι η

πληρεί τις προυποθέσεις.

Η $g:\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$

και στο

δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη

αφού τα $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x),\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)$ δεν υπάρχουν στο $\mathbb{R}\cup \left \{ -\infty ,\infty \right \}$

mikemoke · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$

Θεωρούμε το $A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}$

και την $g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει ώστε η να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Επειδή κάποιοι ανυπομονούν θα γράψω τα βήματα της κατασκευής συνάρτησης ώστε
η να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Βήμα 1
Φτιάχνουμε $h:[0,b]\rightarrow \mathbb{R}$ όπου
με τις ιδιότητες

α)

β) $x\in (0,b]\Rightarrow h'(x)> 0$

γ)Το $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}h'(x)$ δεν υπάρχει.

(Απόδειξη αύριο γιατί θέλει πολύ γράψιμο)

Βήμα 2
Παίρνουμε $H:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

με για ) $x\in [0,b]$

και για $x\in (b,\infty )$

Βήμα 3
Θέτουμε για $x\geq 0$

και για

Είναι σαφές ότι η πληρεί τις προυποθέσεις.

Η $g:\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$

και στο δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη

αφού τα $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x),\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x)$ δεν υπάρχουν στο $\mathbb{R}\cup \left \{ -\infty ,\infty \right \}$

1)Αυτό μπορεί να ισχύει για κάθε

;
Δηλαδή αν $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$ $\Rightarrow$

δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη
Η παραπάνω περίπτωση είναι η μόνη που ικανοποιεί;
2)Mπορεί να δωθεί παράδειγμα

ώστε

να παρουσιάζει κατακόρυφη ασύμπτωτη (αν υπάρχει);

#10

mikemoke έγραψε: 1)Αυτό μπορεί να ισχύει για κάθε ;
Δηλαδή αν $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$ $\Rightarrow$ δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη

Είναι πολύ εύκολο να φτιάξεις παραδείγματα που δείχνουν ότι δεν είναι σωστός ο ισχυρισμός. Πάρε για παράδειγμα f(x)=x^2

.

mikemoke έγραψε:Η παραπάνω περίπτωση είναι η μόνη που ικανοποιεί;
2)Mπορεί να δωθεί παράδειγμα ώστε να παρουσιάζει κατακόρυφη ασύμπτωτη (αν υπάρχει);

Eύκολα βλέπει κανείς ότι δεν είναι δυνατόν η εν λόγω συνάρτηση να είναι η μόνη. Αμέσως αμέσως οι $2f(x), \, -f(x)$ και f(x+1)

δίνουν και άλλα παραδείγματα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Ξεκινάω να κάνω το βήμα 1.
Πρέπει να βρούμε παραγωγίσημη συνάρτηση με θετική παράγωγο που σε ένα σημείο η παράγωγος δεν είναι συνεχής.
Τεχνικά δυσκολεύει το θετική.
Γιαυτό θα αντικαταστήσουμε το θετική με μη αρνητική.

Θα φτιάξουμε μια $F:[0,\frac{1}{4}]\rightarrow \mathbb{R}$

που η β) συνθήκη θα είναι $F'(x)\geq 0$

Tοτε η $h(x)=F(x)+x^{2}$ η οποία έχει $h'(x)> 0,x\in (0,\frac{1}{4}]$

Η $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt,0\leq x\leq \frac{1}{4}$

και η

κατασκευάζεται ως εξης:

Θέτουμε f(0)=0

Θα ορίσουμε την

στα διαστήματα $\frac{1}{2^{k+1}}< x\leq \frac{1}{2^{k}},k\geq 2$ .

Για καθαρά τεχνικούς λόγους θεωρούμε την συνάρτηση
$r(x)=1-\left | x \right | ,\left | x \right |\leq 1\wedge r(x)=0 ,\left | x \right |> 1$
και αυτές που παράγονται από αυτήν
$r(a,b)(x)=r(\frac{x-b}{a}) , a> 0,b\in \mathbb{R}$

Για $\frac{1}{2^{k+1}}< x\leq \frac{1}{2^{k}},k\geq 2$

θέτουμε $f(x)=r(\frac{1}{4^{k}},\frac{3}{2^{k+2}})(x)$

Εξήγηση.Στο μέσο του διαστήματος φτιάχνουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο με ύψος

και βάση $\dfrac{2}{4^{k}}$
Σε αυτά που περισσεύουν την βάζουμε

Προφανώς
$\int_{\frac{1}{2^{k+1}}}^{\frac{1}{2^{k}}}f(x)dx=\frac{1}{4^{k}}$

Εχουμε $F'(x)=f(x) ,0< x\leq \frac{1}{4}$ γιατί η f(x)

είναι συνεχής στο $0< x\leq \frac{1}{4}$

Για $\frac{1}{2^{k+1}}< x\leq \frac{1}{2^{k}},k\geq 2$ έχουμε

$0< F(x)\leq \sum_{n=k}^{\infty }\frac{1}{4^{k}}=\frac{1}{3.4^{k-1}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{(2^{k+1})^{2}}.\frac{(2^{k+1})^{2}}{4^{k-1}}\leq \frac{16}{3}x^{2}$

Από την τελευταία παίρνουμε ότι η

παραγωγίζεται στο

και

Ετσι για την

τα α,β πληρούνται.

Επειδή για $0< x\leq \frac{1}{4}$ είναι h'(x)=f(x)+2x

και $f(\frac{3}{2^{k+1}})=1$ καθώς και $f(\frac{1}{2^{k+1}})=0$

το $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}h'(x)$ δεν υπάρχει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

Στην παραπάνω απόδειξη μπορούμε να θέσουμε

f(0)=0

και $f(x)=(1-\left | \sin \frac{\pi }{x} \right |)^{e^{\frac{1}{x}}}$

για $0< x\leq \frac{1}{4}$

Αν και έτσι έχουμε τύπο για την παράγωγο η απόδειξη δυσκολεύει κατά πολύ.

Πάλι αποδεικνύουμε ότι για $0< x\leq \frac{1}{4}$

είναι $F(x)\leq Cx^{2}$

όπου C> 0

απόλυτη σταθερά.

Αυτό γίνεται κόβοντας και ράβοντας εκεί που το $\sin \frac{\pi }{x}=0$ .

Χρειάζεται να γίνουν εκτιμήσεις σειρών καθώς και ανισότητες γα την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση.

Ασύμπτωτη παραγώγου

Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση