Δυναμοσύνολα

Nikindo64 · #1

Καλημέρα,

Θα μπορούσε κανείς να με βοηθήσει με την απόδειξη του ισχυρισμού ότι το δυναμοσύνολο θα έχει 2^n

στοιχεία όπου

το σύνολο των στοιχείων του αρχικού συνόλου. Προσπάθησα να βρω την απόδειξη στο διαδίκτυο χωρίς αποτέλεσμα. Αν κάποιος μπορέσει να μ στείλει μια ιστοσελίδα ή ένα αρχείο με την απόδειξη ή να την γράψει στην απάντηση θα ήμουν πολύ χαρούμενος... Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας!

#2

Nikindo64 έγραψε:Καλημέρα,

Θα μπορούσε κανείς να με βοηθήσει με την απόδειξη του ισχυρισμού ότι το δυναμοσύνολο θα έχει στοιχεία όπου το σύνολο των στοιχείων του αρχικού συνόλου. Προσπάθησα να βρω την απόδειξη στο διαδίκτυο χωρίς αποτέλεσμα. Αν κάποιος μπορέσει να μ στείλει μια ιστοσελίδα ή ένα αρχείο με την απόδειξη ή να την γράψει στην απάντηση θα ήμουν πολύ χαρούμενος...

Nikindo64,

κατ' αρχήν, καλώς όρισες στο mathematica.gr.
Στο προκείμενο: Δεν γνωρίζω ποιες είναι οι μαθηματικές σου γνώσεις αλλά αυτό που ρωτάς δεν είναι δύσκολο να απαντηθεί από κάποιον που έχει βασικές γνώσεις μαθηματικών.
Να κάνω ένα πρώτο βήμα: Επειδή αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το πλήθος του δυναμοσυνόλου ${\cal{P}}(A)$ του συνόλου

, δεν βλάπτει να θεωρήσουμε ότι $A=\{1,2,3,\ldots,n-1,n\}$ .
Μπορείς να βρεις πόσα (διαφορετικά) μονοσύνολα μπορείς να φτιάξεις με τα στοιχεία του

;
Πόσα διαφορετικά (διαφορετικά) σύνολα με δύο στοιχεία; Πόσα διαφορετικά (διαφορετικά) σύνολα με τρία στοιχεία;

Kostas Tzimoulias · #3

Να προσθέσω και εγώ μια "λύση".Ο τύπος : ${n}\choose {k}$ σου λέει ουσιαστικά με πόσους τρόπους μπορείς να επιλέξεις ενα υποσύνολο

στοιχείων από το αρχικό σύνολο των

στοιχείων.
Έτσι παρατήρουμε ότι : $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{ {n}\choose {i}}=2^n$

Διόρθωσα τα λάθη.

#4

Και με έναν καθαρά συνδυαστικό τρόπο:

Φτιάξε μία ένα προς ένα και επί αντιστοιχία μεταξύ του δυναμοσυνόλου και των ακολουθιών μήκους n, των οποίων τα στοιχεία είναι 0 και 1, ως εξής:

Αν στο υποσύνολο B ανήκει ο αριθμός k, τότε στην k- θέση της ακολουθίας έχουμε 1, αλλιώς 0. Για παράδειγμα στο σύνολο {2,3} αντιστοιχούμε

την ακολουθία 0110...0. Άρα έχουμε τόσα υποσύνολα, όσες είναι και οι ακολουθίες. Πόσες είναι οι ακολουθίες; Η βασική αρχή απαρίθμησης μας

λέει $\displaystyle{2^n}$ , γιατί κάθε θέση της ακολουθίας συμπληρώνεται με 2 τρόπους (μπορούμε να βάλουμε ή 0 ή 1). Άρα ο πληθάριθμος του δυναμοσυνόλου

είναι $\displaystyle{2^n}$ .

#5

Kostas Tzimoulias έγραψε:Να προσθέσω και εγώ μια "λύση".Ο τύπος του νεύτωνα : ${n}\choose {k}$ σου λέει ουσιαστικά με πόσους τρόπους μπορείς να επιλέξεις ενα υποσύνολο στοιχείων από το αρχικό σύνολο των στοιχείων.
Έτσι παρατήρουμε ότι : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{ {n}\choose {i}}=2^n$

Να σημειώσω ότι ο Κώστας έχει δυο λάθη:
1) ο διωνυμικός συντελεστής ${n}\choose {k}$ δεν είναι ο τύπος του Newton και
2) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{ {n}\choose {i}}=2^n-1$

Υ.Γ. Πάντως ο διωνυμικός συντελεστής $\binom{n}{k}$ εμφανίζεται στην λύση που παραπάνω πρότεινα να προσπαθήσεις, αρκεί να τον "βρούμε" πρώτα.

Nikindo64 · #6

Θα ηθελα να σας ευχαριστήσω όλους που αφιερώσατε λιγο χρόνο για να μου απαντήσετε. Ευχαριστώ για την βοηθεια σας... Και επειδη δεν γνωριζετε τις γνωσεις μου θα ηθθελα απλα να σας αναφέρω ότι ειμαι μαθητης της α' λυκειου (τώρα β' λυκειου) και ετυχε να διαβάσω για τα δυναμοσύνολα και αυτή η παρατήρηση για το 2n μου τραβηξε την προσοχή.

Δυναμοσύνολα

Δυναμοσύνολα

Re: Δυναμοσύνολα

Re: Δυναμοσύνολα

Re: Δυναμοσύνολα

Re: Δυναμοσύνολα

Re: Δυναμοσύνολα

Μέλη σε σύνδεση