mathematica.gr

Δίνεται το σύνολο . Να δείξετε ότι σε οποιοδήποτε υποσύνολο του έστω με μπορούμε να βρούμε τέτοια ώστε . Ισχύει το ίδιο και για ; Για μαθητές.

Χωρίζουμε τους αριθμούς στις εξής κατηγορίες:

- Οι αριθμοί που διαιρούνται με το
- Οι αριθμοί που διαιρούνται με το , αλλά όχι με το
- Οι αριθμοί που διαιρούνται με το , αλλά όχι με το και το
.
.
.
- Οι αριθμοί που διαιρούνται με το , αλλά με κανέναν από τους προηγούμενους πρώτους.

Με αυτό τον τρόπο είναι βέβαιο πως αριθμοί από διαφορετικές κατηγορίες είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Έστω πως υπήρχε ένα υποσύνολο του , έστω , όπου δεν ίσχυε το ζητούμενο. Προφανώς θα έπρεπε οι αριθμοί που θα περιείχε να προέρχονταν από το πολύ δύο κατηγορίες, καθώς διαφορετικά θα επιλέγαμε αριθμό από διαφορετικές κατηγορίες και το ζητούμενο θα ίσχυε.

Θα αποδείξουμε πως δεν γίνεται να πάρουμε αριθμούς από μόνο κατηγορίες:

Πράγματι ακόμα και αν πάρουμε από τις δύο μεγαλύτερες (σε πλήθος), δηλαδή τις δύο πρώτες, το συνολικό πλήθος είναι , άρα ακόμα και σε αυτή την περίπτωση δεν καλύπτουμε αριθμούς, άτοπο.

Επομένως το ζητούμενο ισχύει όταν το πλήθος του είναι . Όταν είναι όμως δεν ισχύει, όπως δείξαμε στο παραπάνω (παίρνοντας τους αριθμούς της πρώτης και της δεύτερης κατηγορίας.)

Υ.Γ Η λύση είναι τελείως λάθος . Αναμενόμενο βέβαια, όταν πας να λύσεις μια άσκηση μετά τα μεσάνυχτα .

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Χωρίζουμε τους αριθμούς στις εξής κατηγορίες:

- Οι αριθμοί που διαιρούνται με το
- Οι αριθμοί που διαιρούνται με το , αλλά όχι με το
- Οι αριθμοί που διαιρούνται με το , αλλά όχι με το και το
.
.
.
- Οι αριθμοί που διαιρούνται με το , αλλά με κανέναν από τους προηγούμενους πρώτους.

Με αυτό τον τρόπο είναι βέβαιο πως αριθμοί από διαφορετικές κατηγορίες είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Έστω πως υπήρχε ένα υποσύνολο του , έστω , όπου δεν ίσχυε το ζητούμενο. Προφανώς θα έπρεπε οι αριθμοί που θα περιείχε να προέρχονταν από το πολύ δύο κατηγορίες, καθώς διαφορετικά θα επιλέγαμε αριθμό από διαφορετικές κατηγορίες και το ζητούμενο θα ίσχυε.

Θα αποδείξουμε πως δεν γίνεται να πάρουμε αριθμούς από μόνο κατηγορίες:

Πράγματι ακόμα και αν πάρουμε από τις δύο μεγαλύτερες (σε πλήθος), δηλαδή τις δύο πρώτες, το συνολικό πλήθος είναι , άρα ακόμα και σε αυτή την περίπτωση δεν καλύπτουμε αριθμούς, άτοπο.

Επομένως το ζητούμενο ισχύει όταν το πλήθος του είναι . Όταν είναι όμως δεν ισχύει, όπως δείξαμε στο παραπάνω (παίρνοντας τους αριθμούς της πρώτης και της δεύτερης κατηγορίας.)

Δεν ισχύει αυτό οι , π.χ δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Γράφουμε τους αριθμούς ως εξής:







Αν υπάρχουν και οι τρεις από μια γραμμή, τότε είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους.
Αλλιώς, έχουμε ακριβώς δύο από κάθε γραμμή και τον
Οπότε σίγουρα θα υπάρχει κάποια από τις τριάδες