Χρωματισμός ακεραίων

#1

Κάθε ακέραιος χρωματίζεται άσπρος ή μαύρος με τέτοιο τρόπο ώστε αν ο

είναι άσπρος τότε ο m + 20

είναι επίσης άσπρος και αν ο

είναι μαύρος τότε και ο k + 35

είναι επίσης μαύρος. Πόσοι από τους αριθμούς 1, 2, . . . , 50

είναι δυνατόν να είναι άσπροι;

#2

Αν ο

είναι άσπρος, τότε και ο m+20

είναι άσπρος και άρα και ο m+40

είναι άσπρος. Οπότε και ο m+5

είναι άσπρος αφού αν ήταν μαύρος, θα ήταν και ο m+40

μαύρος.

Επίσης αν ο

είναι άσπρος, βρίσκουμε διαδοχικά ότι οι m+20,m+25,m+30,m-5

είναι επίσης άσπροι.

Άρα δύο αριθμοί ισότιμοι modulo 5 πρέπει να έχουν και το ίδιο χρώμα. Επίσης μπορούμε να χρωματίσουμε αυθαίρετα τις κλάσεις modulo 5 με όποιο χρώμα θέλουμε διατηρώντας τις δεδομένες συνθήκες.

Άρα από τους αριθμούς στο σύνολο $1,2,\ldots,50$ μπορούμε να έχουμε 0,10,20,30,40

ή

άσπρους.

Χρωματισμός ακεραίων

Χρωματισμός ακεραίων

Re: Χρωματισμός ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση