Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

Tolaso J Kos · #1

Αποδείξατε ότι
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan ( \sinh n) \arctan \left( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right) = \frac{\pi^2}{8}}$ ( H. Ohtsuka)

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Ιουν 19, 2017 10:23 pm Αποδείξατε ότι
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan ( \sinh n) \arctan \left( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right) = \frac{\pi^2}{8}}$ ( H. Ohtsuka)

Θα δούμε ότι η σειρά είναι τηλεσκοπική. Πράγματι, παρατηρούμε ότι για μη αρνητικούς αριθμούς a, b

έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \arctan \left ( \frac{\sinh a}{\cosh b} \right ) &= \arctan \left ( \frac{e^{a} - e^{-a}}{e^b + e^{-b}} \right ) \\ &=\arctan \left ( \frac{e^{-(b-a)} -e^{-(b+a)}}{1+e^{-2b}} \right ) \\ &= \arctan \left ( e^{-(b-a)} \right ) - \arctan \left ( e^{-(b+a)} \right ) \end{aligned}}$
Άρα,

$\displaystyle{\begin{matrix} \displaystyle \arctan \left ( \frac{\sinh 1}{\cosh n} \right ) &= &\arctan \left ( e^{-n+1} \right ) - \arctan \left ( e^{-n-1} \right ) & \\\\ \arctan \left ( \sinh n \right ) & = & \arctan e^n - \arctan e^{-n} = \dfrac{\pi}{2} - 2\arctan e^{-n} \end{matrix}}$
Μαζεύοντας τηλεσκοπικά τους όρους , έχουμε το ζητούμενο!

Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

Re: Πωπω τριγωνομετρία που έχει αυτή η σειρά !!

Μέλη σε σύνδεση