Αναγωγισιμότητα Πολυωνύμου

#1

Να εξετασθεί αν το πολυώνυμο

$\displaystyle{P(x):=2x^{5}-4x^{4}+8x^{3}+14x^{2}+7}$ είναι ανάγωγο στο $\displaystyle{\mathbb{Q}[Χ]}$ .

#2

Το πολυώνυμο είναι ανάγωγο επί του $\displaystyle{\mathbb{Q}}$ .

Ας υποθέσουμε, με απαγωγή σε άτοπο, ότι $\displaystyle{P(x)=f(x)g(x)}$ για κάποια πολυώνυμα $\displaystyle{f(x),g(x) \in \mathbb{Q}[x]}$ με $\displaystyle{0<\deg(f(x))=k}$ και $\displaystyle{0<\deg(g(x))=5-k}$ .

Τότε το πολυώνυμο

$\displaystyle{Q(x)=x^5 P(\frac{1}{x})=2-4x+8x^2+14x^3+7x^5}$

μπορεί να γραφεί ως το γινόμενο των πολυωνύμων

$\displaystyle{F(x)=x^kf(\frac{1}{x}) \in \mathbb{Q}[x]}$ και $\displaystyle{G(x)=x^{5-k}g(\frac{1}{x}) \in \mathbb{Q}[x]}$

με $\displaystyle{0<\deg(F(x))=k}$ και $\displaystyle{0<\deg(G(x))=5-k}$ (αφού $\displaystyle{f(0)g(0)=7\ne 0}$ ).

Αλλά, το $\displaystyle{Q(x)=2-4x+8x^2+14x^3+7x^5}$ είναι ανάγωγο επί του $\displaystyle{Q}$ από το κριτήριο Eisenstein με p=2

, άτοπο!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αναγωγισιμότητα Πολυωνύμου

Αναγωγισιμότητα Πολυωνύμου

Re: Αναγωγισιμότητα Πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση