Κορυφὲς ἰσοπλεύρου τριγώνου

[Γ.-Σ. Σμυρλής]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Οἱ 1η, 3η καὶ 5η πλευρές ἑξαγώνου, ἐγγεγραμμένου σὲ κύκλο ἀκτῖνος 1, ἔχουν μῆκος ἐπίσης 1. Δείξατε ὅτι τὰ μέσα τῶν 2ης, 4ης καὶ 6ης πλευρῶν ἀποτελοῦν κορυφὲς ἰσοπλεύρου τριγώνου.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Μια λύση εκτός φακέλου:

Έστω ABCDEF το εξάγωνο μας και έστω το κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένο.

Έστω ακόμη ότι και ότι είναι τα μέσα των .

Προφανώς έχουμε πως τα τρίγωνα και είναι ισόπλευρα (οι πλευρές τους είναι ίσες με ).

Έχουμε ότι και όμοια ότι .

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις και παίρνουμε ότι:

\displaystyle{\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BK}-\vec{MA}+\vec{FC}-\vec{BK}=\vec{AB}+\vec{FC}ML\dfrac{\vec{OA}+\vec{OF}}{2}=\vec{OM}\dfrac{\vec{OE}+\vec{OD}}{2}=\vec{OL}S60^oS(\vec{AO})=\vec{AB}\Leftrightarrow S({\vec{OA}})=\vec{BA}S(\vec{OF})=\vec{OE}S(\vec{EO})=\vec{EF}\Leftrightarrow S(\vec{OE})=\vec{FE}S(\vec{OD})=\vec{OC}S(\vec{ML})=S(\vec{OL}-\vec{OM})=S({\vec{OL}})-S(\vec{OM})S({\vec{OL}})-S(\vec{OM})=S(\dfrac{\vec{OE}+\vec{OD}}{2})-S(\dfrac{\vec{OA}+\vec{OF}}{2})=}

Χρησιμοποιώντας τώρα τις (4), (5), (6), (7) και (1) έχουμε ότι:



Άρα έχουμε πως , άρα το είναι ισόπλευρο.

EDIT:Προστέθηκε το σχήμα

ΕΞΑΓΩΝΟ.png (39.26 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Οἱ 1η, 3η καὶ 5η πλευρές ἑξαγώνου, ἐγγεγραμμένου σὲ κύκλο ἀκτῖνος 1, ἔχουν μῆκος ἐπίσης 1. Δείξατε ὅτι τὰ μέσα τῶν 2ης, 4ης καὶ 6ης πλευρῶν ἀποτελοῦν κορυφὲς ἰσοπλεύρου τριγώνου.

Νομίζω ότι είναι μια άλλη διατύπωση της γνωστότατης άσκησης που σίγουρα θα έχει ξανασυζητηθεί.