Ένα πρόβλημα ίσως χωρίς λύση...

[pro]

Θέλω να σας θέσω ένα πρόβλημα το οποίο ίσως να μην λύνεται κιόλας.

Έστω πως κάποιος ποντάρει στο στοίχημα απόδοση του με αρχικό κεφάλαιο ευρώ και σκοπό να το μετατρέψει σε ευρώ. Το είναι καθαρή απόδοση δηλαδή αντικατοπτρίζει την πραγματική πιθανότητα που είναι περίπου και αυτό συμβαίνει σε όλα τα στοιχηματικά γεγονότα που θα ποντάρει. Συνεπώς

Όπως είναι εύκολα αντιληπτό είναι επαναποντάρισμα. Αυτός πρέπει να παίξει συνεπώς φορές το αρχικό του κεφάλαιο συν το κέρδος του κάθε στοιχήματος στην απόδοση του για να κερδίσει τα χίλια ευρώ και κάποια επιπλέον.

Η ερώτηση μου τώρα είναι η εξής: Ποιο είναι το ποσοστό των πιθανοτήτων αυτός ο παίκτης να ολοκληρώσει έστω μία φορά τη προσπάθεια του στις δοκιμές που θα κάνει;

Λύνεται αυτό το πρόβλημα και αν λύνεται ποια είναι η λύση του;

[Demetres]

Ασφαλώς και λύνεται.

Ας γράψουμε για την πιθανότητα νίκης σε μία ρίψη, για το πλήθος των συνεχόμενων φορών που θέλουμε να κερδίσουμε, και για το πλήθος τον φορών που θα δοκιμάσουμε να παίξουμε. [Όπου με παιγνίδι εννοούμε συνεχόμενες ρίψεις όπου πρέπει να κερδίσουμε σε όλες.]

Στην περίπτωσή μας είναι και .

Η πιθανότητα να κερδίσουμε για συνεχόμενες φορές είναι . Η πιθανότητα να μην συμβεί αυτό είναι . Η πιθανότητα να χάσουμε κάθε φορά που παίζουμε είναι . Άρα η πιθανότητα να κερδίσουμε τουλάχιστον μία φορά ισούται με



Στην περίπτωσή μας αυτό είναι περίπου ίσο με