Δύσκολη(?) ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Κώστας Παππέλης: Δημοσιεύσεις: 261; Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm; Τοποθεσία: Αθήνα

Δύσκολη(?) ανισότητα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Τετ Οκτ 25, 2017 6:34 pm

Μια -δύσκολη μάλλον- δική μου κατασκευή

Αν a,b,c>0

και

να δείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{a}{a^3+b+c}+\frac{b}{b^3+c+a}+\frac{c}{c^3+a+b}\leq1}$

Ετικέτες:

ανισότητα

matha: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 6428; Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Δύσκολη(?) ανισότητα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 25, 2017 7:37 pm

Από Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle{a^3+b+c\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{a}+b+c}}$

άρα

$\displaystyle{\frac{a}{a^3+b+c}\leq \frac{1+ab+ac}{(a+b+c)^2},}$

άρα

$\displaystyle{\sum \frac{a}{a^3+b+c}\leq \frac{3+2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}=\frac{9}{(a+b+c)^2}=\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\leq 1.}$

Μάγκος Θάνος

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες