Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων

KARKAR · #1

: Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 1093 φορές

Το τμήμα

διέρχεται από το σημείο S(4,3)

και έχει τα άκρα του στις

ημιευθείες του σχήματος . Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του : $\dfrac{1}{SP}+\dfrac{1}{SQ}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Μπορεί να υπολογισθεί και η ελάχιστη τιμή.
Τα νούμερα δεν παίζουν ρόλο.
Αργότερα θα την ανεβάσω αν δεν με προλάβουν.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 26, 2017 2:18 pm Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων.pngΤο τμήμα διέρχεται από το σημείο και έχει τα άκρα του στις

ημιευθείες του σχήματος . Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του : $\dfrac{1}{SP}+\dfrac{1}{SQ}$

: Μ-Α-Α.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Έστω $P(t,\dfrac{3t}{2}).$ Τότε, $\displaystyle PS:y - 3 = \frac{{3(t - 2)}}{{2(t - 4)}}(x - 4)$ και για y=0,

είναι $\displaystyle Q( \frac{2t}{{t - 2}},0)$ , $\displaystyle t \ne 2,t \ne 4$

Μετά τις πράξεις βρίσκουμε : $\displaystyle \frac{1}{{SP}} + \frac{1}{{SQ}} = f(t) = \frac{t}{{\sqrt {13{t^2} - 68t + 100} }}$ που παρουσιάζει για

$\boxed{t=\frac{50}{17}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{\left( {\frac{1}{{SP}} + \frac{1}{{SQ}}} \right)_{\max }} = \frac{5}{6}}$

Αν t=2

είναι

ενώ αν

είναι $SP \bot x'x$ και το ζητούμενο άθροισμα είναι $\dfrac{2}{3}<\dfrac{5}{6}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Στο σχήμα του Θανάση χωρίς νούμερα.

Φέρουμε την παράλληλη προς την

από το

.

Τέμνει την

στο

.

Είναι $J=\dfrac{1}{PS}+\dfrac{1}{QS}=\dfrac{PQ}{PS.SQ}$

Από ομοιότητα τριγώνων παίρνουμε ότι

$\dfrac{PQ}{PS}=\dfrac{OQ}{SK}$

αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι

$J=\dfrac{1}{SK}.\dfrac{OQ}{SQ}$

Θέλουμε μέγιστη και ελάχιστη τιμή του

$\dfrac{OQ}{SQ}$

Αν και έχω καθαρά γεωμετρική λύση θα χρησιμοποιήσω τριγωνομετρία.

Εστω $f=\angle SOQ ,x=\angle OSQ$ με την γωνία

σταθερή.

Από θεώρημα ημιτόνων στο τρίγωνο SOQ

παίρνουμε

$\dfrac{OQ}{SQ}=\dfrac{\sin x}{\sin f}$

Όλα εξαρτώνται από το $\sin x$

Προφανώς μεγιστοποιείται όταν γίνει

δηλαδή $\angle OSQ=\frac{\pi }{2}$

Ελαχιστοποιείται όταν τείνει να γίνει ίση με την γωνία $\angle SOP$

Προφανώς ελάχιστη τιμή δεν υπάρχει (όπως κακώς έγραψα παραπάνω)
αλλά υπάρχει το infimum.

Ζητώ συγνώμη που δεν ξέρω να κάνω και να ανεβάσω σχήμα

KARKAR · #5

: Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Εκπληκτική η λύση του Σταύρου , που δίνει εν προκειμένω το αποτέλεσμα :

$(\dfrac{1}{SP}+\dfrac{1}{SQ})_{max}=\dfrac{1}{SK\cdot sin\phi}=\dfrac{1}{2\cdot\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{6}$ .

Η δική μου λύση δίνει ότι : $\dfrac{1}{SP}+\dfrac{1}{SQ}=\dfrac{1}{OS}(\cot\phi+\cot\theta)\sin\widehat{OSQ}$ ,

ποσότητα που δίνει : $(\dfrac{1}{SP}+\dfrac{1}{SQ})_{max}=\dfrac{1}{5}(\dfrac{4}{3}+\dfrac{17}{6})=\dfrac{5}{6}$ .

Για την $\cot\theta$ , δες εδώ . Η ισοδυναμία των λύσεων αφήνεται για άσκηση !

Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων

Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων

Re: Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων

Re: Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων

Re: Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων

Re: Μέγιστο αθροίσματος αντιστρόφων

Μέλη σε σύνδεση