Συνέχεια και αριθμητική πρόοδος

#1

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ ώστε $f(0)=\frac{1}{1821}$ και $f(1)=-\frac{3}{25}$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\ a_1,a_2,...,a_{2010}$ διαδοχικοί όροι γνησίως αύξουσας αριθμητικής προόδου ώστε $f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_{2010})=0.$

#2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Έστω συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ ώστε $f(0)=\frac{1}{1821}$ και $f(1)=-\frac{3}{25}$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\ a_1,a_2,...,a_{2010}$ διαδοχικοί όροι γνησίως αύξουσας αριθμητικής προόδου ώστε $f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_{2010})=0.$

Υπόδειξη:

Θέτουμε στο [0,1]x[0,1] , F(a, w) = f(a) + f(a+w) + f(a+2w) + ... +f(a+2009w)

Είναι F(0,0) >0. Επίσης λόγω συνέχειας υπάρχει a κοντά στο 1 με f(a) < 0.
Επιλέγουμε w τόσο μικρό θετικό που όλοι f(a+w), f(a+2w), ... , f(a+2009w) να είναι επίσης αρνητικοί. Είναι τότε F(a,w) < 0.
Κάνουμε τώρα Bolzano για συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Συνέχεια και αριθμητική πρόοδος

Συνέχεια και αριθμητική πρόοδος

Re: Συνέχεια και αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση