Putnam 2017/B2

#1

Δίνεται θετικός ακέραιος

ο οποίος μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα

διαφορετικών θετικών ακεραίων

$\displaystyle N=a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+k-1)$

για k=2017

αλλά όχι για οποιαδήποτε άλλη τιμή k>1.

Από όλους τους θετικούς ακέραιους

με αυτήν την ιδιότητα, ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος

που εμφανίζεται σε αυτές τις σχέσεις;

Ορέστης Λιγνός · #2

Έμεινε πολύ καιρό άλυτη ...

Αν μπορεί ο Δημήτρης, να κοιτάξει αν είναι σωστή.

Είναι $N=ak+\dfrac{k(k-1)}{2}$ .

Θα δείξουμε ότι $\textnormal{ \en min} \, a=16$ .

Πρώτα, ας δείξουμε ότι γίνεται το

να πάρει αυτήν την τιμή.

Έστω λοιπόν a=16

, οπότε $N=16 \cdot 2017+2017 \cdot 1008=2017 \cdot 2^{10}$ .

Έστω, πως υπάρχουν $b,t \in \mathbb{N}, t \neq 2017, t \neq 1$ ώστε $N=b+(b+1)+ \cdots +(b+t-1)$ .

Τότε, $b+(b+1)+\cdots+(b+t-1)=2017 \cdot 2^10 \Rightarrow bt+\dfrac{t(t-1)}{2}=2017 \cdot 2^{10} \Rightarrow t(2b+t-1)=2017 \cdot 2^{11}$

α) Αν

άρτιος, οπότε $2b+t-1 \equiv 1 \pmod 2$ , είναι $t=2^{11}$ ή $t=2017 \cdot 2^{11}$ (αφού ο 2017

είναι πρώτος). Και οι δύο περιπτώσεις δίνουν εύκολα άτοπο.

β) Αν

περιττός, είναι $2b+t-1 \equiv 0 \pmod 2$ , άρα t=1

( $t \neq 2017$ ). Εύκολα και από εδώ έχουμε άτοπο.

Άρα δείξαμε ότι γίνεται a=16

.

Μένει να δειχτεί ότι δεν γίνεται a<16

.

Για να ο επιτύχουμε αυτό, θα βρούμε κατάλληλα b,t

ώστε $N=b+(b+1)+ \cdots +(b+t-1)$ , με $t \neq 2017$ .

Για

άρτιο, είναι N=2017(a+1008)

, και αν $2^s \mid \mid a+1008 \Rightarrow a+1008=2^sm$ , με

περιττό, έχουμε $N=2017 \cdot 2^s \cdot m$ .

Θέλουμε $b+(b+1)+ \cdots +(b+t-1)=2017 \cdot 2^s \cdot m \Rightarrow t(2b+t-1)=2017 \cdot 2^{s+1} \cdot m$ . Επιλέγουμε $t=2^{s+1}$ , και $2b+t-1=2017m \Rightarrow b=\dfrac{2017m+1-2^{s+1}}{2}$ .

Αν δείξουμε τώρα ότι b>0

, θα έχουμε βρει τα κατάλληλα b,t

, που δείχνουν πως δεν γίνεται a<16

.

Είναι $2^s \cdot m=a+1008<1024 \Rightarrow s \leqslant 9$ , άρα $b=\dfrac{2017m-2^{s+1}+1}{2} \geqslant \dfrac{2017-2^{10}+1}{2}>0 \Rightarrow b>0$ .

Για

περιττό, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία ( s=0

).

Έτσι, $\textnormal{ \en min} \, a=16$ .

Edit: Έγιναν κάποιες διορθώσεις. Ευχαριστώ τον Δημήτρη (Demetres).

#3

Σωστά. Όταν όμως δείχνεις την περίπτωση a < 16

, το έκανες μόνο για

άρτιο. Ευτυχώς η ίδια λύση δουλεύει και για

περιττό. (Δεν αλλάζει κάτι αν s=0

.)

[Υπάρχουν και κάποια τυπογραφικά. Π.χ. εκεί που λες $b \neq 1$ , εννοείς $t \neq 1$ .]

Putnam 2017/B2

Putnam 2017/B2

Re: Putnam 2017/B2

Re: Putnam 2017/B2

Μέλη σε σύνδεση