Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο.png (11.31 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της υποτείνουσας

ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με κάθετες

πλευρές AB=c,AC=b

. Το τμήμα

έχει τα άκρα του στις AB,AC

και είναι ίσο

με το

. Βρείτε τη θέση του

για την οποία μεγιστοποιείται το (ASMP)

και βρείτε

την τιμή αυτού του μεγίστου . Εφαρμογή για b=4 , c=6

.

Andreas A. · #2

Μία προσέγγιση με μαθηματικά κατεύθυνσης Β' και παραγώγων Γ' λυκείου:

Έστω τα σημεία $A\left ( 0,0 \right ), \ B\left ( c,0 \right ), \ C\left (0,b \right )$ , το μέσον $M \left ( \frac{c}{2},\frac{b}{2} \right )$ και τα : $S\left ( x,0 \right ), \ P\left ( 0,y \right )$

Ισχύει:
$(AM)=\sqrt{ \left ( \frac{c}{2}-0 \right )^2+\left ( \frac{b}{2}-0 \right )^2} \Rightarrow \boxed{(AM)=\frac{\sqrt{c^2+b^2}}{2}}$

Απαιτούμε:
$(SP)=(AM)\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(0-y)^2}=\frac{\sqrt{c^2+b^2}}{2}\Rightarrow \boxed{y=\sqrt{\frac{c^2+b^2}{4}-x^2}}$

Υπολογίζουμε τα επί μέρους εμβαδά:
$(ASM)=\frac{1}{2}\left |det\left ( \overrightarrow{AS},\overrightarrow{AM} \right ) \right |=\frac{1}{2}\left |det \left ({\begin{array}{cc} x & 0 \\ \frac{c}{2} & \frac{b}{2} \\ \end{array} } \right ) \right |\Rightarrow \boxed{(ASM)=\frac{b}{4}x}$

$(APM)=\frac{1}{2}\left |det\left ( \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AM} \right ) \right |=\frac{1}{2}\left |det \left ({\begin{array}{cc} 0 & y \\ \frac{c}{2} & \frac{b}{2} \\ \end{array} } \right ) \right |=\frac{c}{4}y\Rightarrow \boxed{(APM)=\frac{c}{4}\sqrt{\frac{c^2+b^2}{4}-x^2}}$

Kαι άρα η συνάρτηση του εμβαδού είναι:

$\boxed{E(x)=\frac{b}{4}x+\frac{c}{4}\sqrt{\frac{c^2+b^2}{4}-x^2}}$

$E'(x)=\frac{b}{4}-\frac{c}{4}\frac{x}{\sqrt{\frac{c^2+b^2}{4}-x^2}}$

$E'(x)>0 \Rightarrow \frac{b^2}{c^2}>\frac{x^2}{\frac{c^2+b^2}{4}-x^2}\Rightarrow \left (1+\frac{b^2}{c^2}\right)x^2<\frac{c^2+b^2}{4}\frac{b^2}{c^2}\Rightarrow x^2<\frac{b^2}{4}\Rightarrow x<\frac{b}{2}$

Άρα το εμβαδόν αυξάνει για $x<\frac{b}{2}$ ενώ μειώνεται για $x>\frac{b}{2}$ και άρα μεγιστοποιείται για $\boxed{x=\frac{b}{2}}$ στο $E\left( \frac{b}{2} \right)=\frac{b^2}{8}+\frac{c^2}{8}\Rightarrow \boxed{E_{max}=\frac{b^2+c^2}{8}}$

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 28, 2018 12:51 pm Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο.pngΤο σημείο είναι το μέσο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με κάθετες

πλευρές . Το τμήμα έχει τα άκρα του στις και είναι ίσο

με το . Βρείτε τη θέση του για την οποία μεγιστοποιείται το και βρείτε

την τιμή αυτού του μεγίστου . Εφαρμογή για .

: Ισοδιαγώνιο.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

$\displaystyle \frac{{(AMS)}}{{(AMB)}} + \frac{{(AMP)}}{{(AMC)}} = \frac{x}{c} + \frac{y}{b} \Leftrightarrow 4\frac{{(ASMP)}}{{bc}} = \frac{{bx + yc}}{{bc}} \Leftrightarrow (ASMP) = \frac{{bx + yc}}{4}$

Αλλά, $\displaystyle y = \frac{{\sqrt {{a^2} - 4{x^2}} }}{2} \Rightarrow (ASMP) = E(x) = \frac{{2bx + c\sqrt {{a^2} - 4{x^2}} }}{8}$

Με παραγώγους βρίσκω ότι η συνάρτηση E(x)

παρουσιάζει για $\boxed{x=\frac{b}{2}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{(ASMP)_{\max }} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{8}}$

Παρατήρηση: Στη θέση αυτή οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου είναι κάθετες.

#4

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιαν 28, 2018 5:33 pm
Παρατήρηση: Στη θέση αυτή οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου είναι κάθετες.

Νομίζω Γιώργο απ αυτό το γεγονός πρέπει να ξεκινήσει η ανάλυση.

Είναι και η άσκηση

αποδεικτικές της παραγράφου 10.3

του σχολικού . Θα γράψω αργότερα την άποψη αυτή .

Andreas A. · #5

Edit: Παρατήρησα λάθος στην λύση μου (από ένα σημείο και μετά ενάλλαξα b κ' c) και τώρα την διόρθωσα, καταλήγοντας στο ίδιο αποτέλεσμα με την παραπάνω λύση.

#6

: ισες διαγώνιοι μέσα σε ορθογώνιοι.png (18.7 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

Δείτε το σχήμα .

Πρέπει αναγκαστικά για να έχω μέγιστο εμβαδόν οι διαγώνιοι να είναι και κάθετοι .

Τότε όμως το τετράπλευρο BSPC

είναι εγγράψιμο και τα τρίγωνα ABC

και

όμοια με λόγο

ομοιότητα

άρα :

και

. Τα υπόλοιπα απλά.

Λάμπρος Κατσάπας · #7

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 28, 2018 12:51 pm Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο.pngΤο σημείο είναι το μέσο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με κάθετες

πλευρές . Το τμήμα έχει τα άκρα του στις και είναι ίσο

με το . Βρείτε τη θέση του για την οποία μεγιστοποιείται το και βρείτε

την τιμή αυτού του μεγίστου . Εφαρμογή για .

Μια λύση χωρίς ανάλυση.

Βάζουμε άξονες με αρχή το σημείο

.

Τότε είναι $\vec{AM}=(\frac{c}{2},\frac{b}{2})$ , $\vec{SP}=(-x,y)$ και

$\vec{|AM|}=\vec{|SP|}\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{c^2+b^2}{4}(\bigstar )$ .

Είναι γνωστό

ότι

$E=\frac{1}{2}| \vec{AM}\times \vec{SP}|=\frac{1}{2}| \frac{c}{2}y+\frac{b}{2}x|=\frac{1}{2}(\frac{c}{2}y+\frac{b}{2}x).$

Τώρα αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το E^2

δηλαδή αρκεί να βρούμε πότε πετυχαίνει μέγιστο η παράσταση

$(\frac{c}{2}y+\frac{b}{2}x)^2$ .

Από την ταυτότητα Lagrange

παίρνουμε:

$(\frac{c}{2}y+\frac{b}{2}x)^2=(x^2+y^2)(\frac{c^2+b^2}{4})-(\frac{c}{2}x-\frac{b}{2}y)^2=(\frac{c^2+b^2}{4})^2-(\frac{c}{2}x-\frac{b}{2}y)^2.$

Άρα το E^2

γίνεται μέγιστο όταν η παράσταση $(\frac{c}{2}x-\frac{b}{2}y)^2$ γίνεται ελάχιστη και

συγκεκριμένα

Αυτό συμβαίνει όταν $y=\frac{c}{b}x.$

Αντικαθιστώντας στην $(\bigstar )$ βρίσκουμε τελικά ότι

$x=\frac{b}{2}$ και $E_{max}=\frac{c^2+b^2}{8}.$

Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

Re: Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

Re: Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

Re: Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

Re: Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

Re: Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

Re: Ισοδιαγώνιο μέσα σε ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση